EMANの物理学 過去ログ No.3313 〜

 ● 連続体仮説は偽?

  投稿者:kafuka - 2008/02/08(Fri) 23:48  No.3313 
Wikipediaの
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E4%BD%93%E4%BB%AE%E8%AA%AC
に、
>多くの集合論の専門家は、連続体仮説は偽であると考えているか、
>または真偽に対して中立的な立場を取っている。
とあって、驚きました。
皆様は、どうお考えか、知りたいのですが、、、

尚、物理との関係は、
http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/54600359.html
です。
(二重投稿になったらいけないので、ブログの記事自体へのコメは、当方へお願いします)

  投稿者:EMAN - 2008/02/09(Sat) 10:08  No.3317 
>(二重投稿になったらいけないので、ブログの記事自体へのコメは、当方へお願いします)

 お気遣いありがとうございます。
 これって、数学の話はこっちでやって、
物理の話はkafukaさんのブログでやってって事ですか?

 両方こっちで構いませんよ。
 ほら、コメントする人にとっても、
もし話がまたがってしまいそうな場合には
区別が面倒になってしまいますから。

 私はどうも数学の話には付いていけなくて・・・勉強しなきゃいけないなと思ってるのですが、どこから手を付けようか、って感じです。

  投稿者:hirota - 2008/02/12(Tue) 12:57  No.3353 
日本語Wikipediaの記事は古いですよ。
なにしろ、連続体濃度を「アレフ」と書くのは、僕が学生時代の頃に「古い」と聞いたくらいですから。
今時「集合論の専門家」なんていないと思いますから、記事自体は間違ってないと思います。
学生時代の記憶を引っ張り出すと、集合論→数学基礎論→数理論理学者には「連続体仮説」などどうでもよくなって、「連続体仮説」より更に強い公理やら弱い公理やらを公理系に付けるとどうなるか?とかいった研究をやってたと思いますが、それも遥かな過去のことです。(数十年前には「トポス」の研究が流行ったとか聞いたなー)

  投稿者:kafuka - 2008/02/13(Wed) 01:42  No.3355 
コメント、ありがとうございます。
この話題は、ヒルベルト空間についてのノイマンの公理に、
関連するのですが、
TOSHI様のところのhirita様のコメントで、
「無限小を、付け加えないと完備にならない」
ということは、
「充分な精度、連続」じゃだめですね

  投稿者:TOSHI - 2008/02/13(Wed) 10:36  No.3358 
どもTOSHIです。

>kafukaさん

>「無限小を、付け加えないと完備にならない」

とはhirotaさんはおっしゃっていません。「無限小数を付け加えると完備になる」つまり有理数だけでなく無理数も入れると完備になる,連続だと完備になる,と言われています。
                      TOSHI



  投稿者:kafuka - 2008/02/13(Wed) 14:43  No.3365 
すみません。
「無限小数を付け加えると完備になる」=
「無限小数を付け加えないと完備にならない」
のつもりで、書いたのですが、、、
必要充分条件だと、ばかり思っていました。

  投稿者:hirota - 2008/02/13(Wed) 16:33  No.3367 
なぜ、ヒルベルト空間と無関係な連続体仮説にこだわってるのか分からなかったんですが、どうやら稠密を非可算と誤解してるみたいですね。
稠密は可算・非可算とは独立な概念です。(Wikipediaは見てるでしょうから、説明が分からなかったんですね)
量子力学で使うヒルベルト空間が「可分」というのは、「可算と稠密」両方の性質を持つ集合が存在することで、矛盾でも何でもありません。
簡単な例としては、有理数は実数の中で稠密であり、可算です。

  投稿者:kafuka - 2008/02/13(Wed) 19:17  No.3369 
目から鱗です。
完全に、誤解してました。
ありがとう、ございます。
恐縮ですが、上記の文章を引用させて頂きます。

  投稿者:TOSHI - 2008/02/13(Wed) 20:55  No.3371 
 どもTOSHIです。

 稠密の定義はある空間Xがあって,EがXの部分集合とします。E⊂Xですね。もしもEの閉包(closure)がXに一致する:E∪E'=XのときEはXで稠密(dense in X)と言います。

 閉包って知らない人のために説明するとE'は導集合(derived set)です。で導集合とはって,これはきりがないかもつまりEの集積点(cumulative point)の集合です。

 たとえば有理数集合Qの閉包は実数集合Rに一致するのでQはRで稠密なのです。
                 TOSHI

  投稿者:TOSHI - 2008/02/13(Wed) 21:20  No.3372 
PS:ついでに空間Xが可分(separable)であるとはXがcontable dense subset(可算稠密な部分集合)を持つことを言います。状態のヒルベルト空間が可分である,とは可算稠密な基底を持つこと.つまりその空間の任意の元=
状態ベクトルがその可算基底の有限個の線形結合和で差のノルムの意味でいくらでも近似できることを言います。これをその可算基底で展開できると言います。
                  TOSHI

  投稿者:凡人 - 2008/02/14(Thu) 00:03  No.3375 
hirotaさん
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A8%A0%E5%AF%86
を読んで、
>稠密は可算・非可算とは独立な概念です。
と仰られる意味が分かりました、有難うございました。
ところで、有理数は加算稠密、実数は非加算稠密なので、無限次元ヒルベルト空間の固有値の集合は、多分、加算稠密だと思うのですが、非加算稠密では無いため、実数ほどには稠密ではないと理解して宜しいでしょうか?
また、無限次元ヒルベルト空間の固有値に対応する固有ベクトルは、その無限次元ヒルベルト空間の元ではないという様な事が、『最新版 量子論の基礎』のP72に記されていますが、どのようにお考えでしょうか?

それと、No.3362にて、道徳的なコメントをいただきまして、大変有難うございました。

  投稿者:hirota - 2008/02/14(Thu) 10:11  No.3377 
>実数は非加算稠密
この言葉は意味不明。(Wikipediaを読んでも分かってないみたいですね。TOSHIさんがここに書かれた説明は読んだのですか?)
>固有値の集合
連続スペクトルを固有値とする場合は連続濃度です。(これを固有値としない定義なら別)
>『最新版 量子論の基礎』
何を固有値・固有ベクトルとするかは教科書ごとの定義に依存しますから、僕が持ってない本について聞かれても分かるはずがありません。

  投稿者:凡人 - 2008/02/14(Thu) 23:32  No.3396 
hirotaさん
>また、無限次元ヒルベルト空間の固有値に対応する固有ベクトルは、その無限次元ヒルベルト空間の元ではないという様な事が、『最新版 量子論の基礎』のP72に記されていますが、どのようにお考えでしょうか?
『最版 量子論の基礎』(清水明著、サイエンス社)の誤りでした、真に申し訳ございませんでした。

<<追伸>>
EMANさん、ねじばなさん
私も、トンデモなbrainをmaintainしてゆくために(?)、毎日、仕事前と仕事後にチョコ食べてます。っていうか、チョコ中毒になってます。