EMANの物理学 過去ログ No.3284 〜

 ● 正準変換について

  投稿者:K - 2008/01/27(Sun) 10:29  No.3284 
はじめまして。現在学部2年の者です。
いつもサイト参考にさせて頂いてます。

正準変換について質問なのですが、
まず、正準変換とはハミルトニアンH(q、p)のqとpを新変数QとPに変換した時、Q(q)でなくQ(q、p)へと変換を拡張するに当たり、正準方程式の形を変えない事を条件とした変換という事で合っていますか?

そうだとすれば、正準変換は全く一般的なqとpの変換の部分集合という事ですよね?

そしてL(q、p)≡p・dq/dt−H(q、p)を新変数QとPに変換する際Q(q)でなくQ(q、p)と変換を拡張する時、Lがw(q、Q、t)という関数の時間微分しか変化しないという条件をつけた変換は、正準変換の部分集合だという事はわかるのですが、これで正準変換が全て言い尽くせているかどうかがわからないのです。

もしご存知の方がいらっしゃったらおお教え願えないでしょうか?

  投稿者:TOSHI - 2008/01/27(Sun) 17:03  No.3286 
 ども,こんにちはKさん。はじめましてTOSHIと申します。

> これで正準変換が全て言い尽くせているかどうかがわからないのです。

 結論から言えば「数学的には」L'=L+dW/dtで全ての変換(点変換を含む正準変換)が尽くされているとは言えず,「理論不変=方程式が不変」という意味だけなら,はるかに大きい変換のクラスが存在します。例えばγを定数パラメータとしてLにexp(γt)を掛けて,方程式が不変になるように,おつりの項を引いて変形するとか,いろいろあります。。。

 しかし,例えばランダウの「力学」などの初めの方には書いてあると思いますが,「物理的には」ラグランジアンは「加法的」でなければなりません。熱力学で言えば温度,圧力のような示強的量ではなく体積,内部エネルギー,エントロピーのように系が倍になれば大きさが倍になる示量性の量です。

 つまり,系1と2があって,それらのラグランジアンがL1とL2なら,1と2を合わせた系でのLは小さな相互作用を無視すればL=L1+L2でなければならないという条件をつければL'=L+dW/dtしか有り得ないということになります。

 なお,ラグランジアンが満たす運動方程式がL→L’で変わらないならL'=L+dW/dtということでお話しましたが、L=pdq/dt−HでHとp,qが正準方程式を満たすならLはオイラーラグランジュ方程式を満たすので同じ話です。

 ちなみにブログの宣伝になりますが,よかったら「TOSHIの宇宙」の2006年10月8日の記事「WKB近似,ハミルトン・ヤコービ方程式,経路積分」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/10/index.html
や,同じブログの2007年11月2日の記事「解析力学の初歩」も見てください。もっとも上記の内容そのものについて書いているわけではありませんが。。。

                   TOSHI

  投稿者:TOSHI - 2008/01/27(Sun) 17:19  No.3287 
PS:もっと簡単に言えばL'=2L,3L,...でも理論は不変です。2L=L+Lですが,L=dW/dtとなるとは限りません。

                  TOSHI

  投稿者:hirota - 2008/01/28(Mon) 11:05  No.3291 
作用 S で考えれば、
 S' = a S + b ( a, b は定数 )
で極値も加法性も変わりません。
L の時間積分(定積分)が S ですから、dW/dt は b になります。
p,q を入れ替えたり、符号を変えたい場合には a = -1 を使う必要があります。

  投稿者:TOSHI - 2008/01/28(Mon) 12:15  No.3293 
 こんにちは,TOSHIです。

 hirotaさん>

 加法性ですから系全体の単位を変えたり(質点の質量の単位など,2つ以上の系なら共通のfactorを掛けることや),座標や時間の原点を平行移動を考慮するとかは,もちろんありですよ。

 加法性の他に必要なら慣性の法則も入れると自由粒子のラグランジアンは速度の2乗に比例するとか,L粒子数に比例するので粒子が 0 ならLも 0 であるとか...

 ずるいけど物理的にreasonableな条件を加えて,正準変換がそれしかなくなるまで制限することはできますね。。

                      TOSHI

                  

  投稿者:K - 2008/02/08(Fri) 21:36  No.3311 
TOSHIさん、hirotaさん返信ありがとうございました。

なるほど物理的に制限して行くのですね。じっくり考えてみたいと思います。

大変丁寧に書いて頂いてありがとうございました。