EMANの物理学 過去ログ No.3198 〜

 ● 微分のことがわからないのですが・・・・

  投稿者:§龍§ - 2007/12/28(Fri) 23:51  No.3198 
初めまして^^
微分の式がわかりません。
なぜ△をdと表すのか教えてください><

  投稿者:TOSHI - 2007/12/29(Sat) 01:34  No.3199 
 ライプニッツだったかなあ?
                TOSHI

  投稿者:EMAN - 2007/12/29(Sat) 07:49  No.3200 
 微分の式の意味のことかな?
 微小変化をΔx と表すことがよくあるよね。
 関数 f(x) があるとき、x が Δx だけ変化したら、
関数 f(x) は f( x + Δx ) に変化する。
 関数 f(x) は f(x+Δx) - f(x) だけ変化したわけだ。
 これを Δf(x) と書く。
 Δf(x) = f(x+Δx) - f(x) というわけだ。

 で、微分というのは x が変化したときの f(x) の変化の
割合を計算したいので、Δf(x)/Δx という計算をすればいい。

 ところがだ、微小変化 Δx と言っても、
人によって感覚は色々だ。
 0.1くらいだろうと考える人もいるし、0.01くらいかな
と考える人もいる。
 その変化のさせ方の大きさによって
Δf(x)/Δx の値は違ってきてしまう。

 しかし Δx を小さくすればするほど、Δf(x)/Δx の
値は一定値に落ち着くだろうと考えられるわけだ。
 普通は、f(x) のグラフの形の狭い部分だけを見れば、
どんどん、ただの傾いた直線と変わらなくなってくるからね。

 Δx をどんどん小さくしていって、誰もが最終的に
たどり着くだろう Δf(x)/Δx の値を df(x)/dx と
表現することにした。
 微分というのはそれだけのことだ。

  投稿者:hirota - 2007/12/30(Sun) 16:54  No.3204 
「d」は differential (差) の頭文字でしょう。
これをギリシャ文字で表すと「Δ」になるわけです。
△をdにするのは、有限サイズの変化量を無限小の極限にして滑らかにした感じを表してるんでしょう。(△はいかにも角張った感じですからね)

たぶん、この疑問は「△x」が実際の目に見える変化量であるのに対して、「dx」は何なのか?という事でしょうが、これは、無限に拡大して全てが線形化した極限世界での新しい変数を意味してます。
つまり、「dx」も「dy」も元の世界とは別世界での変数で、元世界で「y = f(x)」の関係式が線形化されて「dy = a dx」という直線の関係式になってるわけです。
この直線 (元の関数の接線) の傾きが「a = dy/dx」と表されるわけです。
(この別世界は、接空間とも言いますが、安易に元世界と同一視してるのが混乱の元)

「微分のことは微分でやれ」と言ったのは誰だったかなー。