EMANの物理学 過去ログ No.3177 〜

 ● 相対性理論について

  投稿者:laipnitz - 2007/12/12(Wed) 23:15  No.3177 
はじめまして、laipnitzといいます。
相対性理論について調べているうちにこのHPにたどりついた次第です。
実はひとつどうしてもわからないものがあります。もしよろしければご回答していただきたく思います。

宇宙空間を光速に近い等速度で進むロケットがあるとします。
このロケットの中の時間の進みを調べるために、バネの力による単振動
の周期によって時間を計ることにします。
γ=1/√(1-(v/c)^2)とし、(γ<1)
相対性理論により、おもりの質量が増大しMγとなることを考慮し、
バネの周期T=2π√M/kにこれを代入し、T’=2π√Mγ/Kすなわち
T'=T√γを得ることができます。
これによって時間は√γおくれることが言えると思うのですが、
実際はγ遅れます。
僕は何を考え落としているのでしょうか?また、正しい考え方とはどのようなものなのでしょうか?(ちなみにローレンツ変換、重力は無視します)

よろしくお願いします。

  投稿者:TOSHI - 2007/12/12(Wed) 23:45  No.3178 
 こんにちは。TOSHIと申します。

 全く同じ問題についてmixiの物理コミュニティ?で私が解答したのでそこからコピーして持って来よう、と探しましたが、どこだったかな?もう1回書くのも面倒くさいし。。。

                      TOSHI

  投稿者:laipnitz - 2007/12/13(Thu) 00:09  No.3179 
お手数をおかけしてしまうのは十分承知ですが、どうか教えていただきたいと思います。
よろしくおねがいします。

  投稿者:TOSHI - 2007/12/13(Thu) 02:09  No.3180 
laipnitzさんへ TOSHIです。探していたのが見つかりました。。。

>まっクロくろたんさん, TOSHIです。

 こういうのは、順を追って正確に考えていけばだいたい解決します。

 まず、。。。
>r=1−(v/c)^2のとき、t'=t×rの関係がある。
 
 というのは正しくは「r=√[1−(v/c)^2]のとき。」でしょうね。そしてこれの意味はロケットの中に固定された時計の時間経過t'を静止系の時計での経過tと比較するとt'=t×rということです。

 次に、。。。
>相対性理論によれば、光速で運動している物体の質量mは増大する。Mを静止している場合の質量(静止質量)とすると、m=M/rの関係が与えられる。同じく(2)式とする。

 ですがm=M/rというのはMが静止質量に対して「相対論的質量」と呼ばれています。最近ではこれを質量と呼ぶ方は稀でしょう。これはc^2を掛けてmc^2=Mc^2/rと書くと単にエネルギーを表わしているのに過ぎず、速度vが増えると「質量が増える」というよりも運動エネルギー:(Mc^2/r)−Mc^2が増えるというだけで、当たり前のことです。質量が増えるよりエネルギーが増えるという方が適切な表現にみえます。そして静止質量Mのことを今では単に質量と呼びます。

 なぜ、m=M/rを相対論的質量とことさらに質量と呼ぶのか、というと運動量をpとしたとき、ニュートン力学では質量というのは静止質量に決まっていてp=Mvですが、相対性理論ではp=Mv/r=mvです。そして運動方程式はニュートン力学でも相対性理論でもdp/dt=mです。pの表式が違うので運動方程式の内容は違うのですが無理に相対性理論でもニュートン力学と同じ慣性質量概念としての解釈をしようとこだわって、mを質量と考えたいわけですね。

 実際にはvが増すと質量が増えるというより運動量pが増えるとかエネルギーが増えると解釈すれば十分でそれを質量に押し付けてもあまり意味があるとは思えません。

 そして、静止系での周期:Tは運動方程式がdp/dt=−kyから決まります。バネの垂直方向の速度をロケットの水平な進行速度vと区別するために、uと書くとu=dy/dtであって垂直運動量はp=Muですから、運動方程式M(du/dt)=−kyとなり、垂直変位yが小さいときの近似では、バネの運動は単振動になって周期はT=2π√(M/k)です。

 一方、ロケットの中で測る同じ周期をT'とすると全く同じバネですしロケットの中でもu'=dy'/dt',p'=Mu'でdp'/dt'=M(du'/dt')=−ky'ですからダッシュがついていても実は同じ方程式なので観測される周期はT'=2π√(M/k)=Tですね。

 このバネの運動はロケットの中でロケットの運動方向に垂直な振動のみを考えているとして、この同じ単振動の現象をロケットの外部の地上静止系から観察すると、垂直振動なのでy'=y,またt'=t×r,p=Mu/r=mu,(r=√[1−(v/c)^2])です。

 ロケットの水平運動の速度vやrは時間tとは無関係に一定として、ロケットの中でのバネの垂直方向の運動方程式M(du'/dt')=−ky'を考察すると、静止した外からの観察では、垂直方向の速度がu'=dy'/dt'=dy/d(rt)=u/rなのでdu'=du/rですから、単純に方程式にdu'=du/r,t'=t×rとy'=yを代入すると、M{du/d(r^2t)}=−kyとなり、結局外から見ると、運動方程式はdp/dt=−ky/rです。

 これはロケット内部で測られる力F=−kyが外部=地上静止系からみるとF→F/rと変換されて見えるとすれば理論に矛盾はありません。

 実際、垂直にかかる力という3次元ベクトルFも同じ3次元ベクトルの運動量pが相対論ではp=Mv→p=Mv/rとなるように、これに似た変換性があると考えればこう書けるのではないかと想像されます。

 そこで、ロケット内のバネの単振動の周期をロケット内部の時計で測るとT'=Tでしたが、これを外から見た場合に外の時計で測られるその周期をT"とすると外部で立てた上の運動方程式からT”=2π√{M/kr^2}=T/rとなり、同じバネの周期を地上とロケットの中で観測すると、双方の当事者にとっては全く同じ周期と観測されるのは当然ですが、地上からロケットの中を見ることが可能なときには、地上の時計はロケット内の時計より進みが速いので、その時計で測ると周期がのびているように見えるという、全く矛盾のない結論になります。

 しかし、まじめに考えると結構大変ですね。

 大学で出された課題なのについ結論まで書いてしまってごめんなさい。
                           
                           TOSHI 

TOSHIです。

 自己レスです。ちょっとミスプリでした。

>M{du/d(r^2t)}=−kyとなり、結局外から見ると運動方程式はdp/dt=−ky/rです。 これはロケット内部で測られる力F=−kyが外部=地上静止系からみるとF→F/rと変換されて見えるとすれば理論に矛盾はありません。

 ここは。。。

「M{du/d(r^2t)}=−kyとなり、結局外から見ると運動方程式はdp/dt=−kyrです。 これはロケット内部で測られる力F=−kyが外部=地上静止系からみるとF→Frと変換されて見えるとすれば理論に矛盾はありません。」

 とすべきでした。また。。

>実際、垂直にかかる力という3次元ベクトルFも同じ3次元ベクトルの運動量pが相対論ではp=Mv→p=Mv/rとなるように、これに似た変換性があると考えればこう書けるのではないかと想像されます。

 というところも、固有時をτとしてdτ=rdtとしf=F/rなるミンコフスキーの力としてdp/dt=Fをdp/dτ=fと書き、Fではなくfをpと対等な3次元ベクトルとして考察するべきでしょう。

 しかし、とにかく結論に変わりはなく深刻なパラドクスなどありません。

                          TOSHI


  投稿者:laipniz - 2007/12/13(Thu) 21:33  No.3181 
解決しました!!どうもありがとうございました。。。