EMANの物理学 過去ログ No.3055 〜

 ● 解析接続における一致の定理について

  投稿者:凡人 - 2007/11/19(Mon) 20:56  No.3055 
hirotaさん、並びに、皆さん(「これで最後病」をまたまた発症させて申し訳ありません。)
「(数体を複素数に拡張し、且つ、解析接続を行うことによって)例えば、ζ(0)=Σ(n=1→∞){n^0}=1+1+1+1+...=-1/2と[いう有限、且つ、一意の値(「一致の定理」による。関数等式は済みませんが省略させて頂きます。)と]する事が出来る。」という表現ではいかがでしょうか?
「一致の定理」の説明は以下をご参照ください。
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/12cmplx/adxcmp02.html

  投稿者:kafuka - 2007/11/20(Tue) 02:56  No.3056  <Home>
ζ(0)ではないですが、ある関数f(x)を例として、
f(1)=∞ 解析接続での値=有限 の場合のジャストの値を、
議論しました。
http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/53266566.html
僕の結論は、
Lim では、当然一致しますが、
ジャストの値では、値が一致しないというより、
「いわゆる解析接続の式」と元の式をf(z)としたものは、
一致しません。

そもそも、解析接続は、Lim で一致するものを、結果とするわけですから、
>の値を持つように
しているわけではない、と思います。

  投稿者:hirota - 2007/11/20(Tue) 10:09  No.3057 
>という表現ではいかがでしょうか?
表現を修正するだけで「いかがでしょうか」じゃダメです。
個々の定義を含めてどのように理解してるのかを他人に分かるように説明しないと、ただの繰り返しです。

解析接続の説明をまとめておきますと、
まず、「解析接続は定義域の拡張」です。
ただし、拡張した定義域での値を勝手に与えるんじゃ意味はありません。
しかし、「解析関数 (複素関数の場合は正則関数と言う)」には、「局所的な値が決まっていれば、拡張した定義域すべての値が一意的に決まる (多価関数の場合は多価の値すべても含めて)」というスゴイ性質がありますので、「定義域の拡張」に意味があり、これが「解析接続」と呼ばれるわけです。
そして、最大限に定義域を拡張した結果が「解析関数」です。(元になった局所的な関数は「関数要素」と言う)
つまり、局所的な関数要素が与えられた場合、定義域が最大限に拡張された「解析関数」は人為的操作と関係なく一意的に存在してるのです。(一致の定理はそれだけで終わらず、ここまで理解すべき)

以上が「とする事が出来る」という人為が入った表現に違和感を感じる理由ですが、少なくともこれくらい説明しないと、何を考えてるのか分からないでしょ?

  投稿者:凡人 - 2007/11/20(Tue) 21:21  No.3058 
hirotaさん
スパータン(spartan)、且つ、マーシファル(merciful)なインストラクシャン(instruction)大変有難うございます。
ところで、「とする事が出来る」というのは、「数体を複素数に拡張し」という事が「人為的操作」だと捉えていたからでもあったのですが、hirotaさんの「スゴイ」ご教示を頂いて、そもそも、宇宙は複素数体(複素数の公理)を基礎にしているにもかかわらず、これまで私が実数体(実数の公理)で理解しようとしてきた事の方が「人為的操作」だったのかもしれないという事を、今更ながらに分かったような気がして来ました。
kafukaさんも、いろいろとご教示いただき大変有難うございます。

  投稿者:hirota - 2007/11/21(Wed) 13:20  No.3061 
どうやら、「どのような誤解があるか探り出してEMANさんの役に立てる」という計画は失敗したみたいだなー。
観測のための情報を投入したら、状態が変化してしまう。なんて不確定性原理?

  投稿者:kafuka - 2007/11/21(Wed) 20:05  No.3062  <Home>
参考までに。
僕の誤解は、

1+2+3+、、、は、普通の計算方法では、∞になるが、
(近づくが)
解析接続という「高等数学の計算方法」を「人為的に適用」
すれば、-1/12 になる=できる。

というものです。

  投稿者:凡人 - 2007/11/21(Wed) 21:22  No.3063 
もしかすると、ζ(s)=Σ(n=1→∞){n^-s}は、有理型関数ではない(?)為、一致の定理とは無関係だったりするのでしょうか?

  投稿者:hirota - 2007/11/22(Thu) 09:48  No.3065 
murak さんが書いた No.3036 を読んでないの? それとも、もう忘れてるの?
(誤解じゃなくて、忘れるのが早くて論理を追えないだけでしたか。 自覚さえすれば、自分で対処できますね)

  投稿者:EMAN - 2007/11/22(Thu) 12:58  No.3066 
> 「どのような誤解があるか探り出してEMANさんの役に立てる」という計画

 hirotaさん、ありがとう。
 私はゼータ関数スレが乱立したり、そこかしこで無差別にその話題に議論を逸らされることがなければとりあえずはいいと思っているだけですけどね。

 今の私はこの話に参入しにくいんですよ。 何か発言するためには、その言葉の意味と背景を自分が確かに分かっていることを確認してからにしたいのですが、手一杯で負担を増やしたくない状況です。

  投稿者:凡人 - 2007/11/22(Thu) 21:32  No.3067 
hirotaさん
申し訳ありませんが、私はただのゼータ関数とリーマンのゼータ関数をごちゃ混ぜにして捉えているという事でしょうか?
とりあえず、murakさんがお作りになられた、
http://homepage3.nifty.com/mkdragon/studies/etc/zeta.pdf
をがんばって理解してみたいと思います。
ところでmurakさん
大変申し訳ありませんが、「ガンマ関数メモ」なるものが、この世に、独立したオブジェクトとして存在するのでしょうか?
<<追伸>>
いいおくれましたが、EMANさん。ご迷惑をおかけしまして、大変申し訳ありません。

  投稿者:murak - 2007/11/22(Thu) 23:27  No.3068 
「ガンマ関数メモ」は
「Weierstrass の因数分解定理と有理型関数」というpdf
http://homepage3.nifty.com/mkdragon/studies/etc/meromorphic.pdf
の一部です。

有理型関数に関する一通りのことは、上のpdfを、ガンマ関数の無限積表示あたりまで読めばわかると思います。
(凡人さんの場合は、その前に複素関数論の入門的部分をまず勉強する必要があるかもしれません。)

  投稿者:凡人 - 2007/11/22(Thu) 23:57  No.3069 
murakさん。有難うございました。
ところで、この問題を正しく理解する為には、冪級数も勉強する必要があるのでしょうか?
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
超大変な宿題を、hirotaさんやmurakuさんから沢山もらってしまったので、これも宿命だと思えば諦めは付きますが、「これで最後病」を発症させる冪ではなかったと、今頃になって後悔しております?

  投稿者:murak - 2007/11/23(Fri) 00:20  No.3070 
複素数体における冪級数の収束性や解析性についての議論は、複素関数論の基礎的事項なので、必然的に勉強する事になりますね。(凡人さんやKafukaさんの知りたい答えは、そのもっともっと先にあると思っていて下さい。)

  投稿者:TOSHI - 2007/11/23(Fri) 03:06  No.3071 
 こんばんは。TOSHIです。

 なーんだ。。。2007年8月11日の私のブログ記事「リーマン予想と素数定理」の中で勝手に引用させてもらっていた。。

>これをワイエルシュトラスの標準形と言います。特に,z= 0 がf(z)の零点ではなくてΣn|1/an|=∞,Σn|1/an|2<∞ の場合にはf(z)=Cexp(Bz)Πan≠0[(1−z/an)exp(z/an)]と表わすことができます。 ここで「Weierstrassの因数分解定理と有理型関数」というホームページのpdf情報を参照しました。

http://homepage3.nifty.com/mkdragon/studies/etc/meromorphic.pdf

 という村上さんという方の書かれたpdfは、murakさんの書かれたものだったのか?

 いや,どうも知らずにお世話になっていました。

                      TOSHI


  投稿者:murak - 2007/11/23(Fri) 12:45  No.3072 
TOSHIさん、どうもです。

あれ(ゼータ関数メモを含めて)は、丁度一年程前に「たけしのコマネチ大学数学科」という番組の関連で、T_NAKAさんのブログで発散級数の和が話題になった際に、書いたものです。(といっても、そこらの教科書等からの寄せ集めですが・・・)

ところで、一度ここでも話題になっていたようですが、TOSHIさんのページを開こうとすると、重くてとても待たされます。以前に比べると多少ましになったような気もしますが、私の環境ではそれでもかなり待たされるので、見に行くのが億劫になっちゃってます。
トップページは見出しだけにして、記事の具体的な内容はそこから辿るという風には出来ないのでしょうか?
(既に話題になっていたのなら失礼)

  投稿者:凡人 - 2007/11/23(Fri) 15:28  No.3073 
murakさん
Firefox2を使用されているのならば、TOSHIさんの雄姿が拝めなくなりますが、
"ツール(T)"→"オプション(O)..."→"例外サイト(X)..."→http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.comを入力→"不許可(B).."や、
閲覧サイト全体に影響がありますが、(Firefox3で改善されればと思っていますが)
"ツール(T)"→"オプション(O)..."→"JavaScriptを有効にする(J)"をOff、ではいかがでしょうか?
そういえば、アドレスバーの右に現れるRSSボタンを利用するという手もアリかもしれません。

  投稿者:kafuka - 2007/11/25(Sun) 16:30  No.3074  <Home>
凡人さん
「一致の定理」というのは、あくまで、正則関数についての
定理だと思います。
解析接続の結果も正則関数です(それが解析接続の定義ですよね)
したがって、ζ(s)を解析接続した結果は、正則関数です。
ζ(s)を形式的に展開しても、
解析接続は、その正則な領域を対象とし、結果は、正則関数です。
解析接続の結果は、一意です。(hirotaさん#3057参照)
-1/2 になるなら、絶対 -1/2 です。
で、形式的でない、本当の1+2+3+,,, は、正則関数じゃないです
(微分した結果が不定、というより関数と呼べるか?)
正則関数じゃないものと、一致しなくても、当然だと、
僕は、理解しています。
間違っていたら、ぜひ、コメント下さい。
定理の無制限な組み合わせが、真でなくなることの、
よい例になりますから。

  投稿者:凡人 - 2007/11/25(Sun) 20:57  No.3075 
kafukaさん
誤っていたら申し訳ありませんが、kafukaさんが仰られる事は、解析接続すれば1+2+3+...=-1/12になるが、「本当の1+2+3+,,,」は∞になるという意味でしょうか?
また、私の受け止めが正しいとすれば、「本当の」というのはどのような意味での「本当」なのでしょうか?
それと、まだ勉強中ですので誤った事を述べるかもしれませんが、murakさんの
http://homepage3.nifty.com/mkdragon/studies/etc/zeta.pdf
によれば、Re(s)>1では、Γ(s)の性質を既知とすれば、ζ(s)は正則のように思えるので、解析接続における一致の定理によって、定義域をRe(s)=1,Im(s)=0を除く複素平面全体に拡張出来るのではないでしょうか?

  投稿者:kafuka - 2007/11/25(Sun) 23:28  No.3076  <Home>
「本当」というのは、言葉が悪かったです。
平たく言うと、
ζ(s)の正則な部分?を解析接続した結果は、正則関数となり、
s=-1では、-1/2 で、
ζ(s)を、そのまま、s=-1で書いたら、形式上1+2+3+...ですが、
それは、正則な部分?のない単純な1+2+3+...とは、見なせない
という意味です。
>複素平面全体に拡張出来る<
その通りだと思います。
それは、あくまで、正則な部分?を複素平面全体に拡張出来る
だけです。
僕こそ、誤っていたら申し訳ありませんが、
ζ(s)は、1+2+3+...を含みますが、ζ(s)の正則な部分?は、どんなに拡張しても、正則な部分?のない単純な、1+2+3+...には、ならない
と考えれば、いいと思います。
解析接続の普通のやり方は、「正則な領域の中」で、テーラ展開して、「正則な関数を得る」ことです。
(と僕は理解しています)

  投稿者:T_NAKA - 2007/11/26(Mon) 01:31  No.3077  <Home>
お二人とも「正則関数」をもう少し調べてから話をした方が良いでしょう。
完全にイメージだけの話をしているように感じます。
出来ればwikiなどではなく本格的な教科書・専門書に当たった方が得策だと思います。

私はζ(s)の正則性とζ(s)=Σn^(-s)という表現がどの領域で有効か?ということは直接関係がないと思っています。
次のWebは参考です。
http://mathworld.wolfram.com/p-Series.html

  投稿者:murak - 2007/11/26(Mon) 02:27  No.3078 
(複素)関数の正則性は局所的な概念なので、どのような領域において正則なのかを言わないと意味が無い。

例えば、べき級数Σ{n=0,∞}z^nは|z|<1で広義一様収束するので、zの関数と見て|z|<1で正則関数になる。これを都合上f(z)と書いておく。一方、g(z)=1/(1-z)により関数g(z)を定義すると、これはz=1を除く複素平面全体で正則な関数になる。しかるに、g(z)のz=0におけるテイラー級数を求めると、それは|z|<1ではべき級数Σz^n、すなわちf(z)と一致している。よって、g(z)=1/(1-z)はf(z)=Σz^nの(z=1を除く全複素平面への)解析接続になっているといえる。

では、|z|>=1であるようなzに対してf(z)とg(z)は等しいといえるだろうか?
例えば、z=2に対してはg(2)=-1であるが、f(2)=1+2+4+8+・・・であって、どのような自然数Nに対してもf(2)>Nが言える(このことを略してf(2)=+∞と書いたりもする)。したがって、もしg(2)=f(2)であれば、任意の自然数Nに対して-1=g(2)=f(2)>N、すなわち-1>Nが言えて、矛盾である。よってg(2)=f(2)とみなすことは出来ない。

これと同様のことは、ゼータ関数に対しても言える。

ゼータ関数のディリクレ級数による表示Σ{n=0,∞}1/n^sを便宜上Ζ(s)と書いておこう。Ζ(s)をそのまま複素数に拡張したものはRe(s)>1である半平面において正則である。しかし、この表示は少なくともRe(s)<1, Im(s)=0である半直線においては、明らかに発散し、意味を持たない。

しかし、このゼータ関数も、よく知られているように解析接続によりその定義域をz=1を除く全複素平面に広げることができる。そこで複素関数としてその定義域を最大限広げたものをリーマンのゼータ関数と呼び、ζ(s)で表す。ζ(s)の一つの表示は、複素積分による

  ζ(s)=-{Γ(1-s)/2πi}∫(-z)^{s-1}/(e^z-1)dz

というものである。(ただし、積分路は複素平面の実軸の正の部分を取り囲むような適当な曲線とする。)

このリーマンゼータ関数ζ(s)は、Re(s)>1では確かにΖ(s)と一致するので、確かにそれはΖ(s)=Σ1/n^sのs=1を除く全複素平面への解析接続になっているが、それはもはや、Re(s)<1ではΣ1/n^sという意味(or表示)は持っていないのである。実際、例えばs=-1に対して、ζ(-1)=-1/12であるが、Ζ(-1)=1+2+3+・・・>N(任意の自然数)なので、決してΖ(-1)=ζ(-1)ではない。言い換えるなら、ζ(-1)=-1/12ではあるが、「決して 1+2+3+・・・ = -1/12 ではない」のである。(これが=ならば、勝手な自然数Nに対して、-1/12>Nが言えて、矛盾。)

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一方、整関数とか有理型関数という言い方は、大域的な概念である。実際、複素関数論的には、整関数とは複素平面全体において正則な関数(言い換えると複素平面上に特異点をまったく持たない関数)のことであり、有理型関数とは二つの整関数の商の形にかける関数のことである。(このことより必然的に、有理型関数は分子分母の整関数の零点によって特徴づけられる極と呼ばれる特異点除く複素平面全体で正則な関数になる。)上の例で出てきたg(z)やζ(s)は有理型関数であるが、f(z)やΖ(s)はその定義域(従って正則な範囲)が制限されるので、有理型関数ではない。

  投稿者:kafuka - 2007/11/26(Mon) 02:33  No.3079  <Home>
すいません。
よけいな=理解の妨げになる「説明」なので、取り消せれば、
と思っていたところでした。
Teating Is Leaning とも、いえませんね。
>ζ(s)の正則性とζ(s)=Σn^(-s)という表現がどの領域で有効か?ということは直接関係がない<
僕は、「正則な領域で行った解析接続の結果が存在するなら」
それは、「絶対正しい」と思っていました。
(勘違いの参考までに)

  投稿者:hirota - 2007/11/26(Mon) 11:43  No.3080 
ちょっと目を放した隙に大増殖してるけど、「ただのゼータ関数」と「リーマンのゼータ関数」が同じものだと言うことは分かったのかな?(もちろん、只でないゼータ関数の一族はリーマンのゼータ関数ではない)
>wiki
どの程度の説明があるかと思って、日本語ウィキペディアの「正則関数」を読んでみたら、これ以外のことを沢山知らないと理解できないような説明になったますねー。(百科事典では仕方ないのか)
これでは「他のこと」を正確に知らないと誤解が増えるだけになりそうです。
>宿題を、hirotaさんやmurakuさんから
僕からの宿題は残ってませんよ。
誤解の内容を明らかにしようと突付いてたのが、誤解じゃなく記憶の問題だと判明して解決しましたし、他のゼータ関数など誰も言及してないのに「ゼータ関数をごちゃ混ぜ」とか言い出すのも記憶の問題と分かりますし、「自分で対処できる」と書いたのも「改善したいと思ったなら自分でできるだろう」というだけで、特に何も要求してません。(即座に出来ることでもないし)

  投稿者:凡人 - 2007/11/26(Mon) 20:58  No.3081 
皆さん
いろいろな意味で、ご教示いただき大変有難うございました。
特にmurakさんには、多大なご足労をおかけしまして大変申し訳ございませんでした。

  投稿者:kafuka - 2007/11/28(Wed) 01:47  No.3095  <Home>
「どのような誤解があるか探り出してEMANさんの役に立てる」という計画<
に賛同して、僕の誤解を説明します。

解析接続は、常に正しい(初等算術と矛盾しない)
となると、解析接続したZ(s)が、初等算術異なる結果を与えるなら、
Z(s)に含まれる解析接続の対象となる部分以外の影響である。
というのは、TOSHIさんの説明にあった、f(x)=1+x+x^2+x^3+ を考えていて、
これの解析接続の対象は、1/(1-x) であるが、
x=1では、f(x)=1/(1-x)+x^(n+1)/(1-x) である=式が異なる(そう書かないと、1+nがでてこない)
http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/53266566.html

この例から、違いの原因は、
s=0や-1等のジャストの値では、Z(s)は、ζ(s)とは違う形で与えられる
と、結論しました。

この推論が間違っているのなら、一致しない原因は、
「解析接続は、初等算術と矛盾することもある」のか、
僕の知らない「深淵な概念とか定理」のため、
であることに、なります。
「深淵な概念とか定理」で一致しないのなら、名前だけでも、
知りたいです。

  投稿者:murak - 2007/11/28(Wed) 06:34  No.3096 
先の私の発言に誤解を助長するような部分があったかもしれないので再度書いておきます。

f(x)=1+x+x^2+・・・
と定義したなら、x=1でのf(x)の値は(定義できないという意味で)存在しません。(あるいはどのような実数より大きいという意味で無限大。)同様に、x=2でのf(x)の値も「定義できない」、若しくは「無限大」です。(これが初等算術の結果だ。)

しかしながら、このf(x)を複素関数とみて解析接続することは出来ます。そのためには、xを複素数とみてf(x)=Σx^nの収束域|x|<1の範囲内に一つの点(例えばx=2/3+i*2/3)をとり、その点を中心にΣx^nを展開し直してやります。これはその点を中心にした新たな定義域と収束半径を持つ冪級数となります。これはまだx=2をその定義域に含まない筈なので、そこで更にその定義域内に含まれる別の点(例えばx=1+i)をとり、その点を中心に冪級数を展開し直して、また新たな冪級数をつくります。このような操作を幾度か繰り返すと、ようやくx=2をその定義域に含むような冪級数を得る事ができるでしょう。これがf(x)の(x=2を含む領域までの)解析接続です。そしてその冪級数にx=2を代入した時の答えは-1になります(確かめてみましょう)。

以上が、本来の定義どおりにf(x)を解析接続した結果です。(これは既に高校までの算術の範囲を越えています。)
しかし、このようなちまちました方法では、一向にf(x)を解析接続した結果の全体像が見えてきませんね。そこでいよいよ「一致の定理」という(複素解析の教科書に書いてある)別の定理の登場です。

我々は、上で定義したf(x)とは全く別の関数である 1/(1-x) という関数を知っています。これを仮にg(x)と書いておきましょう。初等算術的にはf(x)とg(x)は全く別の関数です。しかしながら、これらは|x|<1という限られた領域内ではぴったりと同じ値を与えます。しかも両者は共に(その領域で)正則関数です。従ってこの両者に「一致の定理」(及び関数関係不変の定理)を適用することが出来ます。つまりf(x)を解析接続したものは、その解析接続が可能な限りは、何処までもg(x)と一致するのです。
しかるに、g(x)=1/(1-x)の方は、x=1以外の全ての複素数に対して定義された関数です(更に言えば有理関数である)。従って、このこと(及び一致の定理)から、f(x)を解析接続して得られるものの全体像はg(x)=1/(1-x)と一致する、つまりf(x)はx=1を除く複素平面全体に解析接続可能である事までわかります。
以上のことを略して、「f(x)=Σ_{n}x^n はx=1を除く全複素平面で正則な有理型関数に解析接続可能であって、その結果はg(x)=1/(1-x)に一致する」あるいは更にもっと省略して「f(x)=Σx^nの解析接続はg(x)=1/(1-x)である」と言うのです。
(解析接続の対象になっているのはあくまでf(x)の方であって、g(x)=1/(1-x)ではない事に注意。)

以上が、複素関数論における「一致の定理」の正しい使い方です。ゼータ関数のディリクレ級数による表示Σ1/n^sとリーマンのゼータ関数ζ(s)の関係もこれと同じです。
つまり初等的にはディリクレ級数Σ1/n^sのsに0や-1を入れたものは定義できない(若しくは無限大)ですが、それを複素関数論的に解析接続したものであるリーマンのゼータ関数ζ(s)は、s=0や-1でも値を持っていて、その値はζ(0)=-1/2、ζ(-1)=-1/12になるという事です。

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以上で、一応の説明は終わりですが、代数学、特に整数論をやっている人たちは更に高度な数学を用いてもっと驚くような事をやっているようです。しかし、それを解説する能力は私にはありませんのであしからず。

  投稿者:大学生A - 2007/11/28(Wed) 09:17  No.3097 
解りやすい!この位噛み砕いた説明が載っている専門書が
無いのが悲しい。(T_T)

  投稿者:TOSHI - 2007/11/28(Wed) 13:06  No.3099 
 こんにちは。。TOSHIです。

 murakさんの労作があるので,もはや蛇足とは思いますが,さらに念を押しておきます。

 zを任意の複素数とするとΣ(1,n)z^(k-1)=1+z+z^12+・・+z^(n-1)=(1−z^n)/(1−z)です。これは|z|<1でも,z=−1でもz=2 でも成り立つ正確な等式です。

 そして|z|<1ならn→∞で|z^n|→ 0 なのでΣ(1,∞)z^(n-1)=1+z+z^2+・・=1/(1−z)が成り立ちます。しかしz=−1やz=2ではn→∞で|z^n|→∞なのでΣ(1,∞)z^(n-1)=1+z+z^2+・・=1/(1−z)は成り立ちません。

そこで,|z|<1で与えられる定義域においてのみ複素関数f(z)をf(z)≡Σ(1,∞)z^(n-1)=1+z+z^2+・・ (|z|<1)と定義します。こう定義すれば実はf(z)=1/(1−z) (|z|<1)となります。

 |z|>1やz=−1ではΣ(1,n)z^(k-1)=1+z+z^2+・・+z^(n-1)=(1−z^n)/(1−z)ですがΣ(1,∞)z^(n-1)=1+z+z^2+・・ =1/(1−z)ではありません。

 しかし|z|>1やz=−1でも部分和を表わす(1−z^n)/(1−z)で分子のz^nを無視して1としたもの,つまり1/(1−z)をf(z)と置いて,z=1を除く全複素平面でf(z)=1/(1−z) (z≠1)と定義します。

 つまり,f(z)≡limn→∞[{1+z+z^2+・・+z^(n-1)}+z^n/(1−z)]というのが関数f(z)の正しい定義です。|z|<1ならこの定義は|z|<1に対する前の定義f(z)≡Σ(1,∞)z^(n-1)=1+z+z^2+・・ (|z|<1)と一致しています。

一方,|z|>1やz=−1では|z^n/(1−z)|→∞なのでf(z)≡limn→∞{1+z+z^2+・・+z^(n-1)}+z^n/(1−z)]は無限大から無限大を引くという意味で物理学でのくりこみ処方(renormalization procedure)に似ています。

一方,複素関数論ではf(z)≡Σ(1,∞)z^(n-1)=1+z+z^2+・・=1/(1−z) (|z|<1)を特異点z=1を避けて,正則関数になるように|z|≧1,z≠1にまで接続すればそこでもf(z)=1/(1−z)にしかならないことが「一致の定理」によって証明できます。

実際z=−1+αならΣ(1,n)z^(k-1)=1+z+z^2+・・+z^(n-1)=(1−z^n)/(1−z)はΣ(1,n)(α−1)^(k-1)=Σ(1,n)c_(k-1)α^(k-1)={(α−1)^n−1}/(α−2)です。

一方,αの絶対値が十分小さいならz=−1+αの絶対値が1より大きくても,f(z)=1/(1−z)=−1/(α−2)=(1/2)/(1−α/2)=(1/2)Σ(1,∞)(α/2)^(n-1)=(1/2)[1+(α/2)+(α/2)^2+・・]=(1/2)Σ(1,∞){(z+1)/2}^(n-1)=(1/2)[1+{(z+1)/2}+{(z+1)/2}^2+・・]とTaylor展開されてz=0 のまわりでは|z|=|−1+α|>1なので,zのべきでは展開できなくてもz=−1のまわりならα=(z+1)の無限べき級数に展開可能ですから,|z|>1でも確かにf(z)=1/(1−z)は解析的です。

 そして「一致の定理」というのは同じ点を中心としたTaylor展開の係数の一意性により,|z|<1 以外の領域に解析性(無限べき級数に展開可能性)を保ちながら,f(z)を連続的に延長していったとき,もしも2通り以上の延長=接続があったとしたらそれらは全て一致する,という定理ですから,解析的に接続する方法はユニークです。
                                                 TOSHI

  投稿者:kafuka - 2007/11/28(Wed) 22:43  No.3106  <Home>
murak様、TOSHI様
(やっぱり「さん」では、畏れ多い)
ありがとう、ございます。
十分、納得できました。

f(z)≡limn→∞[{1+z+z^2+・・+z^(n-1)}+z^n/(1−z)]というのが関数f(z)の正しい定義です<
は、目から鱗です。

ところで、Limn→∞ z^n/(1−z) というのは、面白いですね。
|z|<1 で0、つまり微分可能、
|z|≧1 で微分不能
これ自体を、解析接続するとどうなるのでしょう。
(|z|<1 でするから、0かな?)

  投稿者:kafuka - 2007/11/29(Thu) 00:04  No.3107  <Home>
まぁ、ブログのネタに、自分でやってみます。

  投稿者:murak - 2007/11/29(Thu) 01:01  No.3108 
kafukaさんにとっては良い練習問題(?)かもしれませんね。

ところで、TOSHIさんの書き込みの最後の部分は、ちょっと違和感を感じるのですが。

ある点の近傍で定義されたある関数要素(局所的な収束冪級数とその定義域の組)から出発して、別の点への解析接続が何通りか或る場合、得られた複数の関数要素に対して、「一致の定理」はそれらが等しい事を(必ずしも)保証しませんよね。言おうとしている事が違うのかな?(勿論その場合でも、大域的解析函数としては一致するわけですが。。。)

  投稿者:TOSHI - 2007/11/29(Thu) 03:47  No.3110 
 どもmurakさん。TOSHIです。ご指摘ありがとうございます。

>ある点の近傍で定義されたある関数要素(局所的な収束冪級数とその定義域の組)から出発して、別の点への解析接続が何通りか或る場合、得られた複数の関数要素に対して、「一致の定理」はそれらが等しい事を(必ずしも)保証しませんよね。言おうとしている事が違うのかな?

 そうですね。定理そのものは2つの解析関数が少なくとも単連結な領域内の無限点列の上で一致すれば全体の領域でも大域的に一致する、というものですかね。。

 どうも解析的とか正則いうのは複素関数にとってそれほど厳しい制約条件なんだぞ、ということのみを強調したくて幾分感覚的に厳密な条件を落として,まちがった表現になったかもしれません。。

 近接した異なる2点を中心とした,それぞれ異なるべき級数表現でも、それらのそれぞれの収束円内の領域が交わる部分=共通部分の上で値が完全に一致する場合には一方を他方の解析接続と呼び、それらの一方から連続した関数で収束円の和集合で与えられる局所近傍領域全体で解析的な関数はそれしかない,つまり解析接続したもの1通りしかないということが言いたかったのですが違和感あるかな?

                      TOSHI

                   TOSHI

  投稿者:sym - 2007/11/29(Thu) 05:38  No.3112 
>誤解の原因
思うに、「等式の同値変形に対する配慮の欠如」と「素朴過ぎる関数概念」が原因なのではないか。関数値と関数の混同も見受けられるように思う。もっとドライに関数を、ある集合の要素をある集合の要素へと移す写像として捉えていれば、そもそも誤解は生まれなかったのではないだろうか。

以上、勝手な独白でした。

  投稿者:murak - 2007/11/29(Thu) 20:54  No.3114 
> TOSHIさん

微妙な表現の問題になっちゃうのかもしれませんが、解析関数としての全体像、あるいは考えている領域における大域像を見ていると、解析接続は(単連結という条件を付けなくても連結領域ならば)確かに一意的に決まるのですけれど、局所的な関数要素だけを見ていると、例えば、ある点から別の点へ特異点を迂回して解析接続する場合、接続の経路が違うと、関数要素としては別の枝に乗っている事があり得るので、注意が必要かなと思った次第です。

勿論、関数要素が直に繋がっている(直接接続の)場合や、同じ経路で解析接続すれば、関数要素としても同じになるわけですが。
TOSHIさん自身は良く判っておられる事だと思ったけれど、これまで多価関数のことには全く触れていなかったので、ちょっと注意を喚起しておこうかなと思った次第。