EMANの物理学 過去ログ No.3006 〜

 ● 無題

  投稿者:kafuka - 2007/11/12(Mon) 23:53  No.3006  <Home>
わかりました。
Folomyで、甘泉法師様に頂いたコメントのページ
http://www.dab.hi-ho.ne.jp/inabake/sakura/diary/log/column/ZetaAnalyticContinuation/ZetaAnalyticContinuation.html
に、明快に書いてあります。
正確な表現では、ないと思いますが、僕なりに、表現すると
「式としては意味を持つが、その結果とは、何の関係もなくなる」
です。

  投稿者:hirota - 2007/11/13(Tue) 10:38  No.3008 
お、いいですねー。
解析接続一般の説明ではないけど、ゼータ関数に対しては分かりやすいじゃないですか。
>式としては・・・
こういうのを「形式的級数」と言います。

  投稿者:murak - 2007/11/13(Tue) 13:13  No.3009 
手前味噌で悪いが、こんなのもある。
http://homepage3.nifty.com/mkdragon/studies/etc/zeta.pdf

なお、数論屋さんは(ある種の)発散する形式的級数に意味を持たせる方法を知っていたりするが、まずは普通の意味でのリーマン・ゼータ関数を理解するべきか。。。

  投稿者:sym - 2007/11/13(Tue) 15:04  No.3012 
>kafukaさん

上記のURLに電卓で計算できる形の式があるんですから、その式がどんな形をしているか、一度よーく眺めて(気が向いたら計算したりして)ゼータ関数について考えてみるのはいかがですか?

解析接続については、
「開集合U(⊂C)内で定義される関数fは解析的(analytic)とする。
開集合V(⊂C)がUを含み、かつV上で定義される関数Fが解析的であり、かつF(z)=f(z){z:z∈U}であるなら
Fはfの解析接続と呼ぶ」
という説明で十分だと思うのだけど、これはやっぱり異次元言語なのでしょうか。。。

「解析接続は定義域の異なる写像の「のりしろ」を合わせて貼り合わせること」
と言い換えただけでは、、、
だめですよね。


追記

何を書こうか、どう書こうか、とまごまごしていたら、TOSHIさんのコメントが上がっており、このコメントが余計なものに見えてきました。でもせっかく書いたのでそのまま置かせて下さい><

  投稿者:明男 - 2007/11/13(Tue) 15:39  No.3013 
symさん、こんにちは。

充分かどうかはともかく、実際にFを構成するヒントが無いのが教育的では無い気がします。
一般の複素関数論の教科書でも、解析接続の話はいやと言うほど載っていても、具体例に従った関数の構成方法やテクニックについては非常に少ないのではないでしょうか。

それと、今の定義はU,Vが複素数(C)の集合であり、解析的が正則(性)を保証し、{・・・}が「一致の定理」という、複素関数特有の強力な性質があってこそですね。
このような背景は説明として一般的ではないでしょうね。

  投稿者:sym - 2007/11/13(Tue) 16:24  No.3014 
明男さん、こんにちは。

>一般の複素関数論の教科書でも、解析接続の話はいやと言うほど載っていても、具体例に従った関数の構成方法やテクニックについては非常に少ないのではないでしょうか。

おっしゃるとおりです。

数少ないうちの一つで、

xのx乗の話
http://www.math.kochi-u.ac.jp/docky/bourdoki/bangaihen/xx/index.html

は、読み物として面白く、とってもお勧めです。
こういう良くできた話は、楽しくて面白くて、それだけで満足しちゃうんです。でも、結局は能動的に計算を行うことが、面白さの面でも理解の面でも一番かなと思います。

  投稿者:明男 - 2007/11/13(Tue) 16:57  No.3015 
なかなか、徹底してますね。理系であったからか、このような話題(x^x)はしつこく考えた事がありましたね。きっかけは受験時代の微分問題でしたが、一般の人は例え指数関数を習っていても、そこまでは考えないでしょうね。
   d(x^x)/dxを求めよ。
じっくり自分の頭で考えてみる、そういう訓練が現代では疎まれるような気がします。手っ取り早く答えだけが欲しい、この風潮はやはり、マークシート方式の弊害と言えなくもないでしょう。
確かに、頭で考えること、手を動かして「能動的に」考えることを反復することが大切です。

  投稿者:hirota - 2007/11/13(Tue) 17:44  No.3016 
>関数の構成方法
どんな場合でも使える方法といったら、定義されてる領域内の任意の点でテイラー展開するってのがあります。(・・・・!)
これは微分さえ出来れば可能だし、そうやって作った級数は大抵もとの定義領域をはみだしても収束します。(普通は少し定義域ふえるだけだから、何度も繰り返す)
計算は大変だけど 1/(1-x) くらいなら手計算で可能だから、やってみたらいいんじゃないかな。(ただし、0 〜 1 の点でテイラー展開しても定義域は増えない、1 を越えたいなら複素数で展開しなきゃ)
実際にテイラー展開するのはサボって、1/(1-x) = 1/((1-c)-(x-c)) を x-c で展開すれば |x-c| < |1-c| で収束、という収束評価だけやってけば、定義域がどう増えてくか分かるけどね。

  投稿者:murak - 2007/11/13(Tue) 21:14  No.3017 
関数の定義域を一気に(ほぼ)複素数全体に広げる(解析接続)する方法としては(適当な複素関数の)積分表示を用いる方法とかがありますが、確かにテーラー級数でじわじわ定義域を広げてゆく方が解析接続の接続という感じが良く出てますね。

ところで、#3006の参照先の(式2)に具体的な数値を入れた人は誰かいるのかな?

  投稿者:明男 - 2007/11/13(Tue) 21:42  No.3018 
>murakさん、こんばんは。
確かに、Taylor級数で少しずつ定義域を広げて、やがては複素数全域に(理論的には)到る、と習いはしましたが、私には次のように言っているように聞こえたのです。

「えーっ、水の上を歩くにはな、まず右足を水面に下ろし、それが沈まぬうちに左足を水面に下ろすと同時に右足を引き上げ、後はそれをくり返す。そうすると、あら不思議、いつの間にか向こう岸に着く」

#3006、s=1なら直ちに1/0は見て取りましたが、やってみるかな。

  投稿者:hirota - 2007/11/14(Wed) 10:25  No.3023 
>沈まぬうちに
Taylor 級数で解析接続する方法だと、級数の収束域が重なってますから、そこに立ってる間はどちらも沈みませんね。(沈んだらインチキ)
しかし、複素数全域に到るかどうかは関数しだい。

  投稿者:murak - 2007/11/15(Thu) 15:19  No.3036 
ややこしくて、何処にレスを付けるべきか悩みますが、一応ここに書いておきます。(排中律についてはhirotaさんのコメントが既#3033にあるので、ここでは純粋にゼータ関数のことのみを述べます。)

Σ(1/k^s)を複素平面全体に解析接続して得られるリーマンのゼータ関数ζ(s)はs=1以外では一価正則な複素関数であり、唯一の特異点であるs=1は(一位の)極です。なのでそれは多価関数になることはありませんし、極であるs=1以外では無限大になることもありません。このことは複素関数論の用語ではζ(s)はs=1にのみ極を持つ有理型関数であるという風に表現されます。(これらのことは凡人さん自身も言及している#3009の方のpdfをちゃんと読めば説明してある。)

#3011のTOSHIさんの書き方には多少紛らわしい部分があるが、上に述べたことは、リーマンゼータ関数ζ(s)はRe(s)<1の部分では「Σ(1/k^s)と見なすことは出来ない」という事である。(というか、実数体や複素数体では、Re(s)<1でのΣ(1/k^s)には意味が無い。)

なので、リーマンのゼータ関数に関する限り、その負整数での値が「無限であるか有限であるかわからなかったり、はたまたそれらの重ね合わせであったり」する事は断じて「無い」。

ただし、先にもちょっとだけ触れたが、通常の「有理数→実数→複素数」という数の拡張とは全く違う考え方で数概念の拡張を行うと、実数体や複素数体の中では発散する形式的級数に意味を与えるような数体系をつくることも出来る。(しかし、普通の数学を満足に理解していないものがそれをやるとトンデモに陥るだけなので、これ以上触れない。というか、私にはその辺りを語れる能力はない。)

  投稿者:hirota - 2007/11/15(Thu) 19:55  No.3037 
そういえば、p-adic ( p 進附値 ) てのがありましたね。
「形式的級数に意味を持たせる方法」とは、そのことでしたか。(何やってるんかサッパリ分かりませんが)

  投稿者:murak - 2007/11/15(Thu) 21:04  No.3038 
私も上手く説明できないが、p進附値あるいはp進距離というのは、2数の差が素数pで多く割れるほど近いと考えるものらしくて、そのような距離で有理数を完備化する事によってp進数というものが得られるそうな。勿論これは距離関数が違うので実数体とは全く違う位相構造を持っている(従って、そこでの数列の収束は実数の場合とは全く違うことになる)。実数が小数点以下に無限に桁が続くような数によって表現されるようにp進数は小数点より上位に無限に桁が続くような数として表現される(らしい)。ただ、そうした拡張と従来の有理数→実数というような拡張がどのように整合して統合的な数概念をつくるのかは私にもさっぱり理解できない。(というか良く知らない分野のことを書いているので大嘘ついているかもしれない。そこのところよろしく。)

  投稿者:hirota - 2007/11/16(Fri) 09:49  No.3042 
あともうちょっと分かるのは、普通の絶対値が和の順序を反映した距離であるのに対して、p 進附値は積の順序を反映した距離だということくらいですね。
和の順序というのは、1,2,3・・・と足していくと絶対値も順に増えるということで、積の順序というのは約数・倍数の関係です。
そして、0 は全整数の倍数ですから、倍数になればなるほど 0 に近づく距離になってるわけですが、倍数関係全部では線型順序にならないので、1つの素因子 p だけに注目した倍数関係距離が「 p 進附値」というわけです。
というわけで代数的数までは共通でも、それを連続化した p-実数は全部違う!と言う頭がくらくらするような世界 ( 当然ゼータ関数もある ) で何が行なわれているか想像も及びません。

  投稿者:凡人 - 2007/11/16(Fri) 10:20  No.3043 
"p進附値"ではなく、"p進数"や"p進付値"で検索したほうが、いろいろ見つかるようです。
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=p%E9%80%B2%E6%95%B0+p%E9%80%B2%E4%BB%98%E5%80%A4&lr=
<<追伸>>
>あら、やっぱり検索のヒントになるような事は書かない方が良かったな。。。←仰るとおりです。
<<さらに追伸>>
「ζ(s)=Σ(n=1→∞){n^-s}は、解析接続によって、Re(s)<1、Im(s)=0で有限の実数の値を持つようにする事が出来る。」という理解は誤っているのでしょうか?

  投稿者:murak - 2007/11/16(Fri) 11:57  No.3044 
あら、やっぱり検索のヒントになるような事は書かない方が良かったな。。。

  投稿者:T_NAKA - 2007/11/17(Sat) 21:47  No.3048  <Home>
>「ζ(s)=Σ(n=1→∞){n^-s}は、解析接続によって、Re(s)<1、Im(s)=0で有限の実数の値を持つようにする事が出来る。」という理解は誤っているのでしょうか?

どうも、この疑問を払拭されないと、凡人さんは何時までも辞めないんでしょうね。
でも答えはすでに出ているので、いままでのコメントをお読みになり、ご自分で手を動かして確認することが一番でしょう。
ご自分の理解が誤っているのかを他人に尋ねるのは、本来オカシイことです。

「ζ(s)は、解析接続によって、Re(s)<1、Im(s)=0で有限の実数の値を持つようにする事が出来る。」
ということは正しいでしょう。
ただ、Re(s)<1 ではΣ(n=1→∞){n^-s}は意味を成しません。

Re(s)>1 では ζ(s)=Σ(n=1→∞){n^-s} ですが、これを[Σ(n=1→∞){n^-s}と同値で]別の形で表現することできます。
この形にしてから解析接続で Re(s)<1 に定義域を広げることが出来ますが、これはすでにΣ(n=1→∞){n^-s}ではありません。

murakさんのpdfを良く読んでみて下さい。

  投稿者:kafuka - 2007/11/18(Sun) 16:48  No.3049 
>(凡人さんの)この疑問を払拭されないと
で、提案ですが、
一般のζ(s)については、難しいですが、ζ(0)について、
納得されるかどうかでは、どうでしょうか。
ζ(0)=-φ(0)= -f(-1) を、納得されるとしたら、
x = -1 では、定義されないf(x) の問題です。
単にf(x)をf(z)とおいたのでは、だめですが、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E6%8E%A5%E7%B6%9A
の、h(z) は、
|z +(1/2) | < (3/2) において定義できます
つまり、これ h(z) に対する、z=-1 は適用範囲内です。
「h(z)は、すでにf(x)では、ありません」と言われるかも、
しれませんが、h(z)のzを適切にとった、実数軸上のxを考えると、
その「新f(x)」は、元のf(x)に、一致します。

TOSHIさん、お怒り、少しは、おさまりましたか?

  投稿者:T_NAKA - 2007/11/18(Sun) 18:37  No.3050  <Home>
>|z +(1/2) | < (3/2)

というのはh(z)の説明ではなく、g(z)=1/(1-z)をz=-1/2でテイラー展開したものの説明です。
(よくwikiを読んで下さい。)
よって定義域にz=-1を含みますが、それと1+z+z^2+z^3+…=1/(1-z) がz=-1で成立する・しないということとは違います。
あくまでもf(x)=1+x+x^2+x^3+…という定義ならば、f(-1)は不定です。
g(z)=1/(1-z)という関数ならば、z=1以外では値は確定します。
それより、どうしてf(x)=1+x+x^2+x^3+… という関数に拘り続けるのか不明です。

kafukaさんのご提案はあまり良いものとは思えません。
そういう中途半端な説明で理解出来ていないので、いつまでも分かった気になれないのだと思います。
「オイラーの計算」に固執しないで、真正面から勉強した方が良いのではないですか。。
掲示板だけで答えを得ようとしても限界があります。
これまで色々な方々がヒントを与えて下さっているのですから、これからは自力で学習すべきではないでしょうか。。

  投稿者:凡人 - 2007/11/18(Sun) 21:49  No.3051 
T_NAKAさん、並びに、kafukaさん。
「ζ(s)=Σ(n=1→∞){n^-s}は、解析接続によって、Re(s)<1、Im(s)=0で有限の実数(追記:虚部が0という意味で)の値を持つようにする事が出来る。」という理解が誤っているとすれば、「(数体を複素数に拡張し、且つ、解析接続を行うことによって)例えば、ζ(0)=Σ(n=1→∞){n^0}=1+1+1+1+...=-1/2とする事が出来る。」という理解も誤っているという事になるのでしょうか?

>どうも、この疑問を払拭されないと、凡人さんは何時までも辞めないんでしょうね。
この疑問については、その度はこれで最後にしますので、どうぞご安心下さい。

  投稿者:kafuka - 2007/11/18(Sun) 22:36  No.3052  <Home>
他に書くところがないので、ここに書かせて頂きます。
>凡人様
この問題は、置くとしても、他にも、いろいろ意見交換させて
頂きたいのですが、、、
他にも、そう思っておられ方が、おられるかも、知れません。
それで、恐縮ですが、
どこかに、ブログか何か、作って頂けませんでしょうか。
Yahooなら、個人情報が嘘でも、メールアドレスが作れ、ブログが、開設できます。
もちろん、Yahooとプロバイダ契約の必要は、ありません。
いかがでしょうか?

  投稿者:T_NAKA - 2007/11/18(Sun) 22:58  No.3053  <Home>
>この疑問については、その度はこれで最後にしますので、どうぞご安心下さい。

これ以上お話することはありません。ご自分で勉強すべきだと申したはずです。
あなたのだけの掲示板ではないということを良くご理解下さい。

  投稿者:hirota - 2007/11/19(Mon) 11:02  No.3054 
言葉の使い方/理解の仕方に間違いがあると、いくら「答え」を聞いても分からないし、自分で勉強しても無理だと思います。(それができるなら今までの説明で分かるはず)
もっと自分が使ってる言葉の意味を厳密化/明確化する努力が出来れば前進できると思いますが、「スレッドのタイトル」を分かるようにつけないと、興味のない人に迷惑でしょう。
やる気があるなら、一目で分かるタイトルをつけたスレッドを立ち上げたらどうですか?
どのような言葉の混同が起きてるか分かれば EMAN さんの参考にもなるでしょう。(今のままだと、なぜ同じような質問を繰り返すのか理解されない)
僕としては「とする事が出来る」をどういう意味で使ってるのか知りたいですね。(この言葉を「確定した値にしかならない解析接続」に使うのは何か違和感がある)