EMANの物理学 過去ログ No.2886 〜

 ● カシミール効果とゼータ関数について

  投稿者:凡人 - 2007/10/28(Sun) 17:09  No.2886 
話題が突然変わって申し訳ありませんが、カシミール効果の意義とゼータ関数との関係について、私のような量子力学を満足に理解していない者でも理解出来るように説明して下さる方はいらっしゃいませんでしょうか?
なお、素人考えですが、カシミール効果とゼータ関数の間にれっきとした関係があるならば、宇宙と自然数との間に何か深い繋がりがあるような気がするのですが、いかがでしょうか?

  投稿者:hirota - 2007/10/29(Mon) 18:34  No.2893 
単に、カシミール・エネルギーを計算すると、零点輻射が振動数の3乗に比例してるから、和を取るとζ(-3)になる。
としか見えない。(ゼータ関数ってそういう定義だし)

  投稿者:凡人 - 2007/10/29(Mon) 23:35  No.2895 
hirotaさん
>単に、カシミール・エネルギーを計算すると、零点輻射が振動数の3乗に比例してるから、和を取るとζ(-3)になる。
というのは、
http://en.wikipedia.org/wiki/Casimir_effect
の中に記されている事でしょうか?
理解出来ないと思いますが、一応読んでみたいと思います。
それと、
http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/0/0062700.html
も、理解出来ないのを承知で、購入して読んでみたいと思います。

  投稿者:hirota - 2007/10/30(Tue) 11:46  No.2898 
へー、あちらの Wikipedia は詳しく書いてあるね!
日本語のを見た限りで意味ないと判断してたが、本物の Wikipedia は意義があるようだなー。
でも、カシミール効果とカシミール元は大して関係はないと思うね。(「カシミール元:可換な作用素」は量子論で重要なんだろうけど)
その本も、絶対カシミール元をうまく構成すればリーマン予想が解けるかもしれない、という話でカシミール効果は箔付けでしょ?

  投稿者:はっしー帝國 - 2007/10/30(Tue) 13:07  No.2899  <Home>
気になることがあるんですが、金属板でなかったらカシミール効果は起きるんでしょうか?絶縁体ではどうなのでしょうか。
匠の技で削り上げた木の板とか。(表面に凸凹があってはダメですかね…スイマセン)プラスチックとか。

真空のエネルギーって電荷体だけに働く力じゃないですよね。
空間が膨張すればするほどエネルギーは薄まらず密度は一定だと何かで読んだ記憶があります。(佐藤勝彦博士著かな?)
つまり真空の隙間にポコポコエネルギーが湧いて出てくるイメージです。これはリサランドール博士風に言うなら5次元空間から補給してるのでしょうかね。

カシミール力がただのクーロン力なら距離の2乗に比例するのでしょうけど距離の4乗に比例するのが不思議なのでしょうかね。。。次元が関係しているのかなぁー。

  投稿者:hirota - 2007/10/30(Tue) 17:36  No.2901 
真空とは最低エネルギー状態のことで、最低エネルギー状態でも電磁波が飛び回っている (零点輻射) が、導体で囲まれてると電磁波の波長に制限がかかるのがカシミール効果の原因です。
だから、絶縁体では起こらない。
この場合、導体で囲まれた空間が拡大すればエネルギー密度は増え、外のエネルギー密度に近づいて内外の圧力差は減ります。

  投稿者:sym - 2007/10/30(Tue) 18:16  No.2902 
>だから、絶縁体では起こらない。

絶縁体であっても、例えば誘電体多層膜で、カベを作ればカシミール効果を確認できそうな気がします。カベを向かい合わせたときにそれが cavity とみなせるかどうかですね。

  投稿者:hirota - 2007/10/31(Wed) 10:11  No.2904 
カシミール効果は cavity より長い波長が制限されるためで、多層膜による反射は膜間隔より長波長には効かないってことで、cavity より膜間隔を大きくしたら、いったい何を測ってるんでしょうね。

  投稿者:sym - 2007/10/31(Wed) 12:01  No.2906 
物理をやるにはスケールを考えないと何を測っているかわからなくなると思います。たとえば2枚のガラス板を1mmぐらい離して置いたのでは、どんな力もはかれないですよね。

カシミール効果において電波やX線を測ることはできず、カシミール効果は、せいぜい可視光域程度の光によるものだと思います。
それとカシミール効果の原因は cavity 内の光の最低エネルギーがゼロでないことであり、平板間に働く力は、この平板間における電磁相互作用の結果だと考えるのが自然だと思いますよ。

  投稿者:hirota - 2007/11/01(Thu) 14:42  No.2912 
平板間距離より長い波長が制限されるということは、低いエネルギーが制限されるということで、最低エネルギーがゼロでないことです。
平板間では、その最低エネルギー以下の光子も最低振動数の整数倍以外の光子も存在できない結果、外の真空より -(平板間距離)^(-3) 低い総エネルギーとなり、これが電磁場のポテンシャル・エネルギーとなるわけですから、逆4乗引力になります。

  投稿者:sym - 2007/11/03(Sat) 03:05  No.2927 
>hirotaさん

光子に対して、
「制限する、される。存在する、しない。」
という表現はしない方がですよ。
今の場合の正解は、
「定在波になる、ならない」
だと思います。

こんなもの些細な違いじゃないか!と思われるかも知れませんが、これは大きな違いです。

もうひとつ。
「真空」という言葉ですが、これはあくまで cavity 内の光を光子数表示したときの最低エネルギー状態を意味するものであってそれ以上でもそれ以下でもないです。したがって外の真空などというものを考えるのは不自然であり、あまり必要のないことです。どうしても、というのなら別に構わないのですが、私はそんなものを考える必要はないと思っています。

  投稿者:hirota - 2007/11/06(Tue) 10:24  No.2947 
平板に平行な方向に自由伝播する連続波数成分についても積分する必要がありますから、定在波だけではありません。(このへんの計算はNo.2895で凡人さんが引用したWikipediaに載ってます)
また、カシミール力を計算する事だけが目的なら外など関係ないですが、自分の目的は「何が起きているのか」を知る事ですから、外との関係も興味の対象です。
しかし、この計算には大きな「つっこみ所」があるのに、誰も指摘しないのは(またしても)当て外れです。(もちろん、私に正答など書けませんが)

  投稿者:明男 - 2007/11/06(Tue) 13:21  No.2950 
hirotaさん、こんにちは、明男です。

2度も書かれるということは、もしかして、突っ込んで欲しいのか、と思いましたが、力及ばずご期待に添えません(えっ、私にじゃない、そりゃあそうか)(T_T)。

Wikiに記載の計算は初期のCasimir自体によるものと近いプリミティブなもののようですが、記述にも後半に問題点(突っ込みどころ?)がいくつも指摘してあります。hirotaさんのそれは又別ものですか。
もし宜しければ御開示いただければ、及ばずと雖も、頭の体操にはなると思うのですが(笑)。

それと、symさんの言われるように平行板にパラレルな成分がCasimir効果にEffectiveとは思えないんですが。Wikiの積分も定在波のみだと思いますけど。波数ベクトル(運動量空間)ではx,y成分があっても、z方向には定在波であり、積分に寄与している、平行に伝搬する波は無いのと違いますか?
もし全方向を計算したら、それこそfiniteに収まらない気がします。なぜなら、物理的に考えても、この効果は境界条件による量子力学的なエネルギーの量子化に基づくものであり、そのため積分(無限級数)が有限値を持つケースだからです。自由伝搬する波は減衰せず、いくら小さくとも繰り込み理論の赤外発散と同様な事態を引き起こすと思いますが。

  投稿者:hirota - 2007/11/06(Tue) 19:28  No.2952 
いいや、Wiki記載の計算は平行成分を積分してますよ。(平行成分波数 kx,ky による積分)
そして、この場合は紫外発散してます。(繰り込みが必要か)
まあ、繰り込みと言ったって、外の真空エネルギーを0とするだけだから単純な引き算ですむ。(話に聞く繰り込みじゃないけど正当性はどうなる)
ゼータ関数の級数発散と合わせて、これで僕の気付いたつっこみ所が2つとも出ました。(めでたしめでたし)

  投稿者:明男 - 2007/11/06(Tue) 20:03  No.2953 
>平行成分を積分してますよ

そのとおりです。紫外発散かどうかは分かりませんが、カットオフが有効でしょうね。この場合の定在波はX-Y平面には無限に広がっていますからね。しかし、それは平行に自由伝播している波ではありませんし、それではおそらく計算不能でしょうと言う意味です。
ゼータ関数はここ(Wiki)で書かれている段階から遙かに研究が進んでおり、Casimir効果もこの素朴なEstimationから、今や銀河の彼方(私にとってですが^^;)の議論へと舞い上がっています。果たして、理解可能な日が来るか、私が彼岸へ旅立つのが早いか・・・勿論後者です。(ざあんねん)

  投稿者:凡人 - 2007/11/07(Wed) 00:29  No.2957 
>ゼータ関数はここ(Wiki)で書かれている段階から遙かに研究が進んでおり、Casimir効果もこの素朴なEstimationから、今や銀河の彼方(私にとってですが^^;)の議論へと舞い上がっています。
というのは、どういうことでしょうか?
もしやして、カシミール効果の研究が、リーマン予想の証明に繋がるかもしれない、なんていう事ではないですよね?
私も、私が理解できなくてもよいから、リーマン予想が証明されるまでは、なんとか此岸にしがみ付いていたいですね。
ところで、『絶対カシミール元』が売ってなかったので、カシミール効果について簡単(?)に記されている、『ゼータ研究所だより』(黒川信重編、日本評論社)を購入したのですが、結構読み応え(?)がありそうです。
また、この本の中に、ζ(s)とζ(1-s)の双対関係が記されていたのですが、これって結構不思議ですね。

  投稿者:明男 - 2007/11/07(Wed) 03:10  No.2958 
>凡人さん
いや、これはうっかりしたことを書いてすみません。
少し詳しく書いてみます。
Casimir効果はラモローの実験(1997)で5%の誤差でしたが、現在は1%程度まで精度が高まっているようです。
ご存知でしょうが、ゼータ関数もリーマンのゼータからセルバーグ、デデキント、ラティンなど非可換類体論へと受け継がれ、勿論これらとリーマン予想とは絡み合う糸のごとく、肝胆相照らし、複雑怪奇摩訶不思議(私には)な世界へと飛翔しているように見えるのであります。最近では多重ゼータなるものも出てきて、もう、わしゃかなわんよ(ゼータに興味があったのに、遙かに早くから脱落しました)。
Casimir効果もまるで前期量子論のようなユークリッド空間における黒体輻射の計算みたいな姿から、非ユークリッド空間でのそれは、一般的にカシミール作用素の平方根のトレースの1/2という見事な関係があるようです(未確認)。
これらが示唆する内容は数理物理学的に深遠な自然の構造があるのでしょうが、出発点が整数論であるというところが、いかにも物理屋さんを刺激しますね。
ζ(s)とζ(1-s)の関係はΓ(s)とΓ(1-s)の反射公式を思い浮かべさせますが、複素関数論的には解析接続の境界値として自然に表れるものかと・・・(想像)。
長くなりましたが、ゼータは確かに面白いです。敷居の低いところから責めれば、少しは理解できますし、物理への応用も多いです。ではまた。

  投稿者:hirota - 2007/11/07(Wed) 13:00  No.2964 
>平行に自由伝播している波ではありません
すると、波数ベクトル (kx,ky,n) って何ですか?( kx,ky は任意実数、n は正整数)
導波管みたいに閉じ込められて伝播する波は「自由伝播」と言わない、の意味ですか?
z方向に n-1 個の節を持つモードで (kx,ky) 方向に伝播する波を定在波とは言わないでしょう。

おぉっと、あの計算では (kx,ky) を絶対値 q に変換して積分してますね。
ということは (kx,ky) と (-kx,-ky) が重なってるわけだから定在波みたいですね。
もっとも、位相が不定で節がどこをさまよっているか分からないんで、定在してるんだかなんだか分かりませんが。

いや違った!
波数ベクトル (0,0,n) なら、(0,0,n) と (0,0,-n) は同じ1つの光子ですから、自分自身と干渉して定在波になりますが、(kx,ky) ≠ (0,0) の場合は (kx,ky,n) と (-kx,-ky,n) は独立した2つの光子なので、干渉せず定在波じゃないです。

  投稿者:kafuka - 2007/11/08(Thu) 20:08  No.2980  <Home>
>hirota様
「Re(s)<1では意味をなさなくなる」ではなく、「最初の級数展開による定義」では収束しない、です。
解析接続で収束範囲を広げれば、全複素数で意味を持ちます。<
とのことですが、「全複素数域で意味を持つ」ということは、
「全複素数域で、数学的に正しい=矛盾は生じない」と、同義なのでしょうか。

  投稿者:凡人 - 2007/11/08(Thu) 21:30  No.2984 
明男さん
>これらが示唆する内容は数理物理学的に深遠な自然の構造があるのでしょうが、出発点が整数論であるというところが、いかにも物理屋さんを刺激しますね。
この説明をお聞きして、私の寿命は少なくとも1年は延びたような気がしました。どうも有難うございました。

  投稿者:TOSHI - 2007/11/09(Fri) 01:48  No.2985 
 酔っ払いが横からしつれい。。

 昔書いたことのある話ではありますが関数1/(1−x)はx=1以外の全ての複素数xで意味を持ちますが、1+x+x^2+x^3+...=1/(1−x)が成り立つのは|x|<1だけです。

 だから1/(1−x)を1+x+x^2+x^3+...で定義できるのは|x|<1のxだけですが関数1/(1−x)というのは|x|<1でなくてもx=1以外の全ての複素数xで意味を持ちますね。

             酔っ払いでごめん。。TOSHI
              

  投稿者:hirota - 2007/11/09(Fri) 09:51  No.2986 
>「数学的に正しい=矛盾は生じない」
を何に対してどんな意味で使っているのか分かりませんが、とにかくTOSHIさんが言うとおりです。
(トンデモな意味で使う人がいそうだなー)

  投稿者:kafuka - 2007/11/09(Fri) 21:48  No.2990  <Home>
TOSHI様
>1+x+x^2+x^3+...を、一般のxで扱う場合は、
=1/(1−x) じゃなくて、x^(n+1)+1/x-1 で、nについて
Limをとらないと、いけないとおもいますが?

で、x= -1 って、おもしろいですね。
有限には、違いないけど、、、
(まるで、「状態」の重ね合わせみたい)

  投稿者:凡人 - 2007/11/10(Sat) 12:47  No.2991 
ところで、少し話しが後戻りすると思いますが、採用する公理系によって、Re(s)<1、Im(s)=0の場合、ζ(s)が無限になったり、ζ(s)が有限になったりするため、どちらが正しいという事は、採用する公理系次第というような事はないのでしょうか?
因みにこの場合、ζ(s)が無限となる公理系では帰納論理は通用するが、ζ(s)が有限となる公理系では通用しないという事は無いのでしょうか?
そうだとすると、ζ(s)が有限となる公理系を採用していると思われる我々の宇宙は、帰納論理を仮定していないという事なのでしょうか?
それとも、そもそも帰納論理は、対象が無限の命題には通用しないのでしょうか?
そういえば、ζ(1)は、どちらの公理系でも無限となりますが、ζ(s)におけるs=1は、二つの公理系の交点というべき場所なのでしょうか?

  投稿者:kafuka - 2007/11/10(Sat) 18:27  No.2992  <Home>
>TOSHI様
1+x+x^2+x^3+...(n番目まで)のx=-1や i の結果は、サイコロみたいですね。
x+x^2+x^3+...のxを、exp(ikx) と置くと、
x+x^2+x^3+...=exp(ikx)+exp(2ikx)+exp(3ikx)+、、、
ですから、これは、ある周期関数のフーリエ展開に一致します。nで打切るか、n+1で切るかで、和はサイコロになりますね。
で、また飛躍ですが、
ψの重ね合わせの中から、固有関数がサイコロで選択される理由と、関わりがあるような気がします。

  投稿者:T_NAKA - 2007/11/11(Sun) 03:04  No.2993  <Home>
ゼータ関数の文脈では

ζ(x)=Σ1/n^x=1/1^x+1/2^x+1/3^x+1/4^x+・・・

と言うことなんだと思うが、いつの間にか

1+x+x^2+x^3+...

という関数について語られています。
また、
>採用する公理系によって、Re(s)<1、Im(s)=0の場合、ζ(s)が無限になったり、ζ(s)が有限になったりする
というのもなんかの誤解だと思います。

ちゃんと、説明をして、ゼータ関数の定義と照らし合わせてから議論するようにして下さい。

今日は私は酔っ払いですが。。。

  投稿者:kafuka - 2007/11/11(Sun) 03:51  No.2994  <Home>
すいません。
1+x+x^2+x^3+...は、ゼータ関数と直接の関係は、
ないのは、認識しております。
Re(s)を云々する時の、参考のために、あげられたのだと思います。
よけいなことを、書いてすみません。
TOSHI様が、よければ、これで、打ち切ります。

  投稿者:凡人 - 2007/11/11(Sun) 08:59  No.2995 
>>採用する公理系によって、Re(s)<1、Im(s)=0の場合、ζ(s)が無限になったり、ζ(s)が有限になったりする
>というのもなんかの誤解だと思います。
帰納論理は、対象が無限の命題には通用しないというのであれば(または、立場であれば)話しは別ですが、Re(s)<1、Im(s)=0の場合、ζ(s)が無限となる事は、帰納論理によって証明されると考えているため、帰納論理を公理の一部として仮定している公理系では、ζ(s)は無限と定義されるが、ζ(s)を有限と定義する為には、帰納論理を仮定しない公理系が要請されるのではないかと考えています。

>ちゃんと、説明をして、ゼータ関数の定義と照らし合わせてから議論するようにして下さい。
ζ(s)=Σ(n=1→∞){n^-s}だと理解しています。

  投稿者:T_NAKA - 2007/11/11(Sun) 20:04  No.2996  <Home>
>帰納論理は、対象が無限の命題には通用しないというのであれば(または、立場であれば)話しは別ですが、Re(s)<1、Im(s)=0の場合、ζ(s)が無限となる事は、帰納論理によって証明される

というのは何かの文献に書かれていることなのか、ご自分のお考えなのかを明確しないと拙いでしょう。
ひょっとしたら、勘違いかも知れませんよ。

  投稿者:hirota - 2007/11/12(Mon) 13:32  No.2998 
>ζ(s)=Σ(n=1→∞){n^-s}だと理解しています
あ、それ間違い。
この等式は Re(s)>1 だけにしか使えないから、Re(s)<1 ではダメ。
ゼータ関数の定義は、これを全複素数に解析接続したものだから、Re(s)<1 で無限になる公理系は(今のところ)存在しない。(あら、前と同じこと書いちゃった)

  投稿者:凡人 - 2007/11/12(Mon) 19:42  No.3001 
>ゼータ関数の定義は、これを全複素数に解析接続したものだから、Re(s)<1 で無限になる公理系は(今のところ)存在しない。
皆様から、「それがどうした」、とお叱りを受けそうですが、
http://fruit.fnd.muroran-it.ac.jp/zip-100/serverhome/k-ninomiya/page002.html
にて、「実数の公理系」と「複素数の公理系」というのを発見しましたが、いかがでしょうか?

  投稿者:kafuka - 2007/11/12(Mon) 20:18  No.3004  <Home>
>hirota様
すみません、
>Re(s)>1 だけにしか使えないから、Re(s)<1 ではダメ。
と、前、言われてた、
>解析接続で収束範囲を広げれば全複素数で意味を持ちます。
の関係が、よくわかりません。
TOSHI様の言われることは、
「式としては意味を持つが、その結果とは、何の関係もなくなる」
と、解釈してよろしい、でしょうか?

  投稿者:凡人 - 2007/11/12(Mon) 22:56  No.3005 
kafukaさん。私も、
>Re(s)>1 だけにしか使えないから、Re(s)<1 ではダメ。
の意味をまだ良く理解できていませんが、
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/346_zeta.htm
に、「答え」が出ているような気がするのですが、いかがでしょうか?

  投稿者:hirota - 2007/11/13(Tue) 10:20  No.3007 
>いかがでしょうか?
そこが分かりやすいと思ったなら、あとは勉強するだけ。
(適している勉強法は人によって違うので、他人に判断を仰ぐのは無意味)

しかし、解析接続の説明を検索してみたが、分かりやすいのが無いね〜。(あとはおまかせ・・・と逃げる)

  投稿者:TOSHI - 2007/11/13(Tue) 14:24  No.3011 
 どもTOSHIです。kafukaさん,「様」呼ばわりはカンベンしてください。 

 ちょっと出遅れましたが、私的ブログからの引用すると、いわゆるベルヌーイ数Brを用いると,j=0,1,2,..に対して「第1項から第n項までのべき乗和をSj(n)=(k=1,n)k^j で定義するとき、Sj(n)=(k=1,n)k^j =(r=0,j){(jCr)Br・n^j+1-r/(j+1−r)}が成立する」という整数のべき乗の数列の和の公式があります。

 「たとえば,S0(n)=n,S1(n)=n^2/2+n/2=n(n+1)/2,S2(n)=n^3/3+n^2/2+n/6=n(n+1)(2n+1)/6,S3(n)=n^4/4+n^3/2+n2/4=n^2(n+1)^2/4,S4(n)=n^5/5+n^4/2+n^3/3−n/30=n(n+1)(2n+1)(3n2+3n−1)/30ですね。 」

 これは「B0=1,B1=1/2,以下B2=1/6,B3=0,B4=−1/30と続きますが、nが1以外の奇数のときにはBn=0 となる」ことを使ったものです。

 この有限なnについての等式:(k=1,n)k^j =(r=0,j){(jCr)Br・n^j+1-r/(j+1−r)}の左辺はj≧1のときn→∞で発散しますが、右辺の表式のほうは発散しないかもしれません。。

 もしそうなら、別にむずかしく考える必要はなくて、この等式は有限なnだけで成立して,単にn→∞では成立しないという解釈になるだけですね。

 そこで、対応するゼータ関数ζ(−j)の値としては、両辺のうち発散しないほうの値を採用するというような話にはなると思います。

 別に個別的な数学の問題を考察するたびに、いちいち数学の公理系などという数学基礎論に戻る必要などはないと思います。そもそも関数というのは、特別に規約を与えない限りは1価関数のことを意味しますから、一方で無限大、一方で有限値というなら,どちらの値を採用するかは自由ですが、それらを同時に取るというのは1価性に矛盾します。

 そして「解析接続」というのはζ(−j)の(−j)を複素数zとしてζ(z)としたときに、z=(−j)の時には何通りかの表わし方があっても、zで連続で微分可能なような取り方はユニーク(1通りに)に決まるということです。

 そしてz=(−j)の時の何通りかの表現の1つがSj(∞)=狽疑j になるということで、一般のzでS-z(∞)=狽疑(-z)がζ(z)に一致するかどうかはわかりませんが、級数が収束する場合は一致すると考えるべきでしょう。

                    TOSHI                

  投稿者:kafuka - 2007/11/14(Wed) 00:04  No.3019  <Home>
>TOSHIさん
さん付けは、何か変ですよ。
専門家どうしなら、いいでしょうが、僕のような素人がお呼び
する場合は、やっぱり「様」でしょう。
(例えば、僕のブログでは、「朝永」と書かずに「朝永博士」
と、書いています)
それは、おいて、
(1)形式的級数
f(x)=1+x+x^2+x^3、、、を、解析接続すれば、x=-1 で、
1/2 になることには、疑念はないです。
おっしゃることを、お返しするようですが、
1-1+1-1+と、1/2の間には、「何の関係もない」とも、
言えるような、気がします。
(偶然、一致するだけ?)
(2)一価性について
±2つの値がでてくれば、一価性に反しますが、
「重ね合わせ」なら、一価性に矛盾しないと、思います。
というのは、電子が2つのスリットを通るのが
「重ね合わせ」なら「排中律」に反しないと、思っているからです。(根拠はありません、まぁ屁理屈です)
(4)公理系について
また屁理屈ですが、y=f(x)と置くと、y=0、y=1は、平行線です。
従来の立場は、f(-1)=1/2 とおくわけですから、
平行線が、無限遠で交わる(非ユークリッド幾何学)と言っているように思えます。
私は、交わらない(ユークリッド幾何学)と仮定しているわけです。
ユークリッド幾何学も、非ユークリッド幾何学も、
正しいことには、違いありません。(根拠のつもりではありません)

  投稿者:kafuka - 2007/11/14(Wed) 00:30  No.3020  <Home>
>TOSHIさん
一価性と「重ね合わせ」が矛盾しないことは、証明できます。
(思います)
一価性の「1つの値をとる」を1、
「複数の値をとる」を0と、置くと、1ビットで表されます。
「重ね合わせ」は、キュビットで表されます。
「次元」が違うので、矛盾しないというべきでは?

  投稿者:凡人 - 2007/11/14(Wed) 00:48  No.3021 
kafukaさん。やはり私としては、具体的な方法は分かりませんが、
http://www.dab.hi-ho.ne.jp/inabake/sakura/diary/log/column/ZetaAnalyticContinuation/ZetaAnalyticContinuation.html
で解説されているとおり、ζ関数の正則性を確認しながら、複素領域にはみ出して、Re(s)<1、Im(s)=0のところまで回りこむのが、一番分かりやすくて「安全(?)」な気がしました。
murakさん
http://homepage3.nifty.com/mkdragon/studies/etc/zeta.pdf
の存在を忘れていて、申し訳ありませんでした。
その他皆さん、いろいろとご教示有難うございます。
そういえば、明男さんが仰るとおり、ここは月曜日が一番盛り上がるようですね?