EMANの物理学 過去ログ No.2746 〜

 ● ローレンツ変換の求め方

  投稿者:せいたかのっぽ - 2007/10/07(Sun) 10:26  No.2746 
EMANさん、皆さん、こんにちは!

 相対性理論でのコメントできるほど理解してないのですが、
EMANさんの『なぜ光速は一定か?』のスレッドに対して、
TOSHIさんの『光速が限界速度ならその値はニュートン理論での
限界速度である無限大と同じ性質があるべきで、
無限大+無限大=無限大であるから、光速+光速=光速・・・』
という書き込みが、私にはへぇ〜、なるほど、
そういう捉え方もあるのかと心に残ったことを、
書いておきたくて書き込みしました。
(あれよあれよと思う間に談話の奥の方に埋もれてしまったので、
遅ればせながらのコメントです)

 お恥ずかしながら、『ローレンツ変換の求め方』の中で、
変換式がなぜ x, y, z, t についての1次式になっていて、
x^2 以上の項がないのが「当然」としてパッと分からない人の一人です。
 例えば、 x'= の中に x^2 項があって、 ct'= の中に x^2 の項があって、
相殺されて最終的に x^4の項が出てこないということは数学的には
起こりえないことなのかなとずうっと疑問でした。
 一方で x'=ax+by+dz+et と置いて、xtの項はうまいこと相殺されるように
係数を求めているので・・・。

 という不安もあって、ローレンツ変換の求め方は書かれている通り、
いろんな方法がありますから、EMANさんも最終的にはx'=Λ(x-vt)と置いている
ところにダイレクトにつながる説明が(つまり空間の均質性(原点oの取り方の任意性)
から、x'と(x-vt)が比例するという説明が)、自分には一番簡潔で疑問が残らないので
好きなのですが(*)、上の当然が理解できてなくて、しっくりしていない気分は残っています。

(*)注:説明下手で長くなりそうなので、説明不足のまま省略しますが、
・『物理学(改訂版)』小出昭一郎著(裳華房)p285←(今は第三版になってページは変わったと思いますが
以前立ち読みした限り説明は変わってなかったと思います)
の数行のことですけど、他の本ではなかなかこの説明は見当たらない気がします。

EAMNさんの x, y, z, t についての1次式になっていて、 x^2 以上の項がないことは、
若干表現は違いますが、アインシュタイン自身の『相対論の意味』(p.7)の著作の中に出てきて、
3次元の球面の距離が座標系によらず一定ならば、
x^2+y^2+z^2=一定  と、
(x')^2+(y')^2+(z')^2=一定
を同時に満たすには、この場合は全ての係数が+なので x^2 以上の項がないことは理解できましたが、
x^2+y^2+z^2-(ct)^2=一定の場合にその考えを説明なしに拡張している(p.34)のは、
素人だけに分からないことなのか、なんとなく説明にギャップを感じてました。
つまり、 (ct)^2 の前に - があるので、ctの中に x^2 以上の項を
相殺されるように含めることは「当然」ありえないという風にパッと理解できていないです。

 うまく疑問が説明できていたらうれしいのですが、他の方法でローレンツ変換を教えて欲しいのでは
なくて、EMANさんの選択された説明で x^2 以上の項が出ないことを、この場を借りまして、
もし、どなた様か、お教えいただけましたらうれしいです。

  投稿者:hirota - 2007/10/08(Mon) 14:26  No.2755 
こういうのは自分でやってみるのが一番。
ためしに x^2 以上の項を入れて計算してみれば良い。
もっとも、僕は作図で理解したから、そんな面倒な計算する気は起らんけどね。(作図で説明すれば小学生でも分かる。と思ってブラックホールまで論理がつながる図を描いたけど、その解説で挫折したー)

  投稿者:せいたかのっぽ - 2007/10/08(Mon) 15:19  No.2759 
おっしゃるとおりですね。お恥ずかしいです。

この場合、y,zの議論は余り本質的ではないので、
x軸方向の一次元の場合で考えて、

x'=ax+b(ct)+h・f(x,ct)
ct'=dx+e(ct)+i・g(x,ct)

但し、関数f,gは、xt,x^2,t~2,xt^2,‥‥以上の項を含む関数

として、
x^2-(ct)^2=0 かつ、
(x')^2-(ct')^2=0
を満たす、
h≠0,i≠0で、恒等的に0でない関数f,gがあるか。
がもともとの私の疑問でしたが、

結局、実際に代入して考えると、そんなに複雑な式にならずに
関数f,gとして、xt,x^2,t^2,xt^2,‥‥以上の項を含む関数はなく、
唯一、係数を反転する関数
x'=-ax-b(ct)
ct'=-dx-e(ct)のみが求まりました。

「当然」と言うことで、一言二言で、あぁっと言うような
盲点をついた説明を期待したところも有りましたが、
確かに少しじっくり考えれば当たり前のことだったかもしれません。

ただ、私としては文章にして疑問を書いたことで疑問に気づけた気もします。
お騒がせしましたが、有難うございました。

  投稿者:TOSHI - 2007/10/11(Thu) 01:00  No.2807 
 こんばんは。せいたかのっぽさん、TOSHIです。

 ちょっと気になったので線形とか2次式とかを想定することなくローレンツ変換を導出することを試みた記事を私のブログ「TOSHIの宇宙」の10月10日のトピックスとして書いたので,もう解決済みで興味ないとは思いますが,よろしかったら覗いてみて下さい。宣伝になるのでURLは省略しました。

                    TOSHI
 

  投稿者:EMAN - 2007/10/11(Thu) 09:22  No.2808 
> 宣伝になるのでURLは省略しました。

 TOSHIさん、お気遣いありがとうございます。

 話題に沿った参考URLならば、
ご自分の書かれた物であっても
貼って頂いて問題ありません。

> all

 拡大解釈してそこらじゅうに向けて
ペタペタ貼ってはイヤですよ。

  投稿者:せいたかのっぽ - 2007/10/11(Thu) 23:19  No.2814 
TOSHIさんへ

ありがとうございました。大作ですので簡単には読みきれませんでした。
(読みやすいように改行を加えましたが印刷したらA4で6ページになりました)
明日、ちょうど出張なので、新幹線の中で読ませていただきます。

TOSHIさんのブログは、すごい方がいらしゃるなあと、時々のぞきに行ってました。
(すごいという雰囲気を感じるばかりで、読みきれたことがないですけど・・・)


私の疑問は幼稚なもので、単純に
x, y, z, t についての1次式になっていて、 x^2 とか x^3 などに比例する項が
ないことを”数式の形”だけから、対称性等、なんら物理的な考察を一切加えずに
「当然」と言えるものかなぁ???というだけのものでした。

数式だけだったら極端な例を書けば、
x'=x^2
y'=√{x^2+y^2+z^2-(ct)^2}
z'=0
ct'=x^2
なら、
(x')^2+(y')^2+(z')^2-(ct)^2=0
に代入してもx^2の項は相殺されて、
x^2+y^2+z^2-(ct)^2=0
に式の形だけはできるなぁとか・・・。


ただ、今回再度良く考えて得られた副産物としては、
アインシュタインの『相対論の意味』の書物の展開が、

s^2=x^2+y^2+z^2-(ct)^2=0かつ、
(s')^2=(x')^2+(y')^2+(z')^2-(ct)^2=0 (※1)
が成り立つ変換 x'=f(x,y,z,ct)、・・・ に任意の関数を仮定しても、
テーラー展開して(※1)に代入すれば2次以上の項が排除され、
結局、変換式が1次の項のみとなる。(※2)

1次の式で代入して計算すると、
ある係数でs^2と(s')^2が比例することが言えて、(※3)
(この考え方はシュッツ上巻に出てたと思う。自分で代入して計算せよという文で)
s^2=λ・(s')^2
の関係については、空間の等方性から
s^2=(s')^2
という論法になっていると少し分かりました。

(※2)と(※3)は、実際は説明が省略され、
実際、式がゴチャゴチャしてやってみると大変でした。
こういうことを含めて「当然」なのかな。当然のレベルの高さに驚くばかりです。

『なっとくする相対性理論』を代表にして、
s^2=0、(s')^2=0から、0でない場合もs^2=(s')^2の仮定を
アインシュタインが勝手に加えたとの疑問への
反論として、別の方法でローレンツ変換を説明するのは
質問をすり違えており美しくないと思っていたのです。
その後は素人目にはどっちもどっちの言い争いに見えてしまいます。
私は『懐疑論者』を擁護する訳ではないですが、『正論派』も不親切のような・・・。
s^2=0、(s')^2=0から、s^2=(s')^2が成り立つ論法で
どうして教えてあげないのか。『なっとくする・・・』p58の注釈をそのまま見れば、
アインシュタインの書いた『相対論の意味』での導出はおかしいが・・・
と読めてしまいます。
アインシュタイン自身が33年かけて改訂5版、付記をmy last theoryといって
満足してなくなった書物を別の説明で片付けては悲しいという
単純に感情的な理由です。
・・・と、だいぶ横道それまして、ここまで書いて自己嫌悪。
(誰も非難したい訳ではないですが、なんか愚痴っぽくなってしまいました)

相対性理論は誰にとっても知的で魅力のあるものなので、
そうそう目くじら立てずに楽しく勉強できればと思います。

私は化学系工学部でしたが、教養の物理でほんの少し特殊相対論の講義がありました。
その時に、教授が、相対論が分かるけどどうしても納得できないんだよなーとか言いながら
もちろん正しく授業をしてくれたのがとても人間味があって好きでした。
例え正しい内容でも偉い人の受け売りでなく、自分で納得するまで理解したい
という欲求は、たぶんまじめな『懐疑論者』+私含む一般素人も同じですので・・・。

  投稿者:Φマン - 2007/10/12(Fri) 00:30  No.2816 
せいたかのっぽさんの疑問は非常にもっともで、ローレンツ変換が線形変換に限定されるには物理的な要請が必要です。

実際一般相対性理論では殆どなんでもありなんですよね。2次式も当然OKです。それはローレンツ変換ではなく、座標変換ですが、それでも内席は普遍に保てます。つまり内積を普遍に保つというだけでは線形変換に限定されません。ローレンツ変換を導くためには並進対称性と時空間の一様性を要請すればよいと思います。つまり、何もない空間では、時間と位置の基準をどこにとっても良いという要請です。この要請で変換は線形に限られるとおもいますよ。 

例えば

t’=√t^2+x^2

などを取ると

∂t’/∂t=tの関数 →時間の経過具合が刻々変わり、時間の基準点がでてきてしまう。

これは直感的におかしい。

  投稿者:TOSHI - 2007/10/12(Fri) 11:28  No.2819 
 こんにちは、TOSHIです。

 同じ速度vで2回変換すると(2v)の変換になる,という間違った考察に気づいたので,ブログ記事を少し修正しましたがもちろん結論は変わりません。折に触れて気が付けば修正しますので手前事ですがまだ間違いがあるやもしれません。

                    TOSHI

  投稿者:Φマン - 2007/10/12(Fri) 23:16  No.2828 
TOSHIさんこんばんは。実はTOSHIさんのサイトはちょくちょく読みに行っています。内容が高度なので、簡単にコメントを書けませんが、S行列などの理論など、なかなか興味深く読ませてもらいました。

一つ、愚痴というか・・・
私がブログや掲示板を見るときは大抵何かをしながら、ついでにブログをチェックするかという感じなのですが(つまり仕事中ってことで、あまりよろしくないですね)、TOSHIさんのブログではPCが固まる事が多くて、ちょっと困って・・・何か対処法ってあるんでしょうか?一度ヘビーな計算をさせながら訪問したときには、PCが固まって、冷や汗をかきました。

  投稿者:凡人 - 2007/10/13(Sat) 00:03  No.2830 
>TOSHIさんのブログではPCが固まる事が多くて、ちょっと困って・・・何か対処法ってあるんでしょうか?
私のPCはWindowsですが、IEだと問題は起きません。ただし、FireFoxだとだめですね。Linuxの場合は良く分かりません。
http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/

  投稿者:はっしー帝國 - 2007/10/13(Sat) 03:03  No.2831  <Home>
私も「TOSHIの宇宙」を開くとき重いです。しばらくすれば軽くなるのですが、何か大きなデータを読み込んでいるからですよね?

  投稿者:TOSHI - 2007/10/13(Sat) 04:05  No.2832 
 どもTOSHIです。

 最近,過去に書いたブログの全記事の専門用語部分に英語表記を追加して編集しなおすという作業をしていることが多いので遅いのはそのせいかも知れません。
 
 今,今年の7月まできているのでもうすぐ終わる予定です。

                  TOSHI
        

  投稿者:せいたかのっぽ - 2007/10/13(Sat) 16:51  No.2833 
Φマンさんありがとうございます。

頭っから「常識」として線形変換に限定した本が多いので、
なんとなくしっくりしないまま、
モヤモヤしたものをずうーっと心の中で引きずっていたので、
今回、疑問を吐き出して、以前より”自信を持って”
理解が深まった気がします。

『並進対称性と時空間の一様性から線形変換が要請される』
・・・そうですね、今回の談話が思い出としても重ねられたので、
以前より生きた言葉として感じられるようになりました。

いずれにしても、説明の省略・飛躍がなければ「当然・・・」
と省略する必要がないので、つまり「当然・・・」とあれば、
人によってはどこまでで納得できるかの差もありますし、
少なくとも著者が説明が面倒だと感じたものが省かれていると
思った方が、『あれっ?私だけ常識知らず???』と悩むよりは
精神衛生上は良さそうに思いました(^-^)。

TOSHIさんへ

ブログの記事を読ませていただきまして、考察の深さに圧倒されるばかりです。
私には難しいですけれど、何を前提として、何を求めるかしっかり順を
追って切り分けた厳密な展開は、考え方としては整然として伝わってきました。
実は、気の利いたコメントができる状態で返信したかったのですが、
返答を放置した感じになってしまうので、まだ生半可な理解の状態ですけど
感謝も込めまして書き込みました。
もともとの私の疑問よりは、遙に高尚なレベルのものですが、
今のところ、
∂F/∂X = -∂F/∂T (※)
のくだりでつかかってて、
※を”任意の”関数Fが満たす場合は、
F(X-T)の関数に限られると思いますが、
特定の変換関数Fを求めようとしている場合、あらゆる関数Fの中で、
※を満たす関数の形がF(X-T)以外にはありえないと言えるのかが、
もしくはここで、それを言っているのかが分からないでいます。
もうひとつは、ここまでの段階では、例えば、
F=(X-T)^2も、※を満たすので、まだFが一次とはここまででは
限定されてないという理解でいいの?かな??・・・汗;
後段へ向かって、どのあたりからFが一次になっていくか
(というか、この理解でいいのかもまだ、怪しいですけど)
ちょっとまだ読みきれていないです。

なんか、また、おかしなこと書いてしまったのかな??? ドキドキ。
しばし、考え中です。

  投稿者:TOSHI - 2007/10/13(Sat) 17:29  No.2834 
 こんにちは,せいたかのっぽさん、TOSHIです。

>∂F/∂X = -∂F/∂T (※)
のくだりでつかかってて、
※を”任意の”関数Fが満たす場合は、
F(X-T)の関数に限られると思いますが、

 この部分はξ=(X+T)/2,η=(X−T)/2と(X,T)→(ξ,η)と独立変数を変換するとX=ξ+η,T=ξ−ηなので∂F/∂ξ=∂F/∂X+∂F/∂T=0、なのでF(ξ,η)はηだけの関数になるという話でいいでしょうか?

 他の点についてはこれが終わってからですね。
 ところで,ここでブログの内容の話だけをしてもいいのかしらん。

                     TOSHI

  投稿者:凡人 - 2007/10/13(Sat) 22:39  No.2835 
Φマンさん
http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/
の問題は解決しましたでしょうか?

  投稿者:せいたかのっぽ - 2007/10/13(Sat) 23:32  No.2836 
ξ=(X+T)/2,η=(X-T)/2
への変換は、図形の問題で補助線に気づかないと延々と分からないのと同じで
全く気づきませんでした。
一撃、速攻でゲッツーアウト!みたいなガビーンという感じです。(何語??)
まさに、
浅知恵とは危険なもの、深く学んでこそ奥義を知る
訓練不足ですね。
この件については、TOSHIさんのブログにコメントすべきでした。
というより、TOSHIさんにとっては、もうブログで完結されたことなので、
あとは私自身が理解できればいいだけのことですけど・・・。
果報は寝て待て、待っててね。ぐうーっっ って私が寝てちゃダメじゃん。(笑)

ブログは見るのもコメントするのも単に私が慣れていないのもありますが、
過去の記事への一覧性というか、通常のホームページよりはパッと見、
記事の検索がしにくい気がして、これだけの記事が掲示板みたいに
過去へ埋もれていくのがちょっともったいないですね。

  投稿者:hirota - 2007/10/14(Sun) 11:03  No.2837 
>∂F/∂X = -∂F/∂T
全微分を使うと、
dF = (∂F/∂X) dX + (∂F/∂T) dT = (∂F/∂X) dX - (∂F/∂X) dT = (∂F/∂X) d(X-T)
となって、何も考えることなく X-T の関数と分かります。(言い過ぎ)

  投稿者:EMAN - 2007/10/15(Mon) 19:11  No.2844 
> ところで,ここでブログの内容の話だけをしてもいいのかしらん。

 これは問題ありません。

 ブログ主の許可がある場合は、
私は余計な心配をしなくて済みます。

 ここで始まった話題ですし、どうぞ続けて下さい。

  投稿者:hirota - 2007/10/18(Thu) 11:22  No.2856 
>dF = (∂F/∂X) d(X-T)
から
>X-T の関数
への「証明が必要」というツッコミがあるかと思ってたら、期待はずれですね。(証明を用意しただけムダだったな)

  投稿者:EMAN - 2007/10/18(Thu) 21:49  No.2858 
> ツッコミがあるかと思ってたら、期待はずれですね。

 私も期待通りつっこまれなかったことが沢山あります。
 書き込まないまま議論が進み、大量の下書きが残り、時間が経つと手元で静かに削除します。
 それでもその時のために、いつでも準備を続けるのです。

 「こんなこともあろうかと、密かに開発しておいた・・・」という台詞とその姿勢が大好きな私です。

  投稿者:hirota - 2007/10/22(Mon) 12:56  No.2871 
>こんなこともあろうかと
私も大好きな台詞です。(でも、1度しか使えてない)