EMANの物理学 過去ログ No.2573 〜

 ● 量子力学の確率解釈No.2

  投稿者:くるみ - 2007/09/28(Fri) 01:35  No.2573 
http://hpcgi2.nifty.com/eman/emanbbs/yybbs.cgi?mode=topic&no=2424
の続きですm(_ _)m



>具体的にベクトルを表現するとわかりますよ。

どういうことでしょうか?

  投稿者:sym - 2007/09/28(Fri) 01:43  No.2574 
|u>=( 0,1 )
|d>=( 1,0 )
ってな感じで。

  投稿者:くるみ - 2007/09/28(Fri) 03:56  No.2575 
|η>=(1/√2,1/√2)とすれば、

式(1)は2|η>=1|u>+√3|d>、

式(2)はm(2)=m(1)+m(√3)となりますね。

すると式(3)はm(2)=|2|^2、m(1)=|1|^2、m(√3)=|√3|^2となって、確かに成り立ちますね。

・・・???
確かにそうなんですけど…。

  投稿者:sym - 2007/09/28(Fri) 07:28  No.2576 
>式(1)は2|η>=1|u>+√3|d>、

とりあえず、Yは恒等演算子でないと・・・。

えーと、(1)と(2)からユニーク(唯一つに)に(3)が求まるという、その論理は理解していますか?

もうひとつ。
N個に対して測定を行った場合の状態ベクトルの測度を求めたいなら、(1)はN個の場合に対して式を立てなければ、いかんです。(ただ、この論文では違う説明もなされています。どちらが良いかは人それぞれって感じです。)

  投稿者:くるみ - 2007/09/29(Sat) 08:44  No.2600 
>(1)と(2)からユニーク(唯一つに)に(3)が求まるという、その論理は理解していますか?

理解した気でいてちゃんと理解してませんでした。(6)を理解できるわけありませんね。ごめんなさい。
----------------
まず、あいまいさを避ける(?)ためには、

m(X_i)=m(|X_i|)

が成り立たないといけない。|η>と|ξ^i>が規格化されているので、(1)の両辺のノルムをとれば

|Y|=(培X_i|^2)^{1/2}

が求まる。すると(2)より

m(Y)=m(培X_i|^2)^{1/2}=芭(|X_i|)=芭(|X_i|^2)^{1/2}

すなわち

m(培X_i|^2)^{1/2}=芭(|X_i|^2)^{1/2}

となる。これが成り立つmの形は

m(|X_i|)=定数×|X_i|^2

に限られる。定数を1にとれば(3)になる。
-----------------------
と、とりあえずここまでで理解できない点が3点ほどあります。

I)あいまいさを避ける(avoid ambiguities)というのが分かりません。
II)mの形が決まっちゃう理由が分かりません。
III)定数を1にとっていい理由が分かりません。

数学や物理の問題というよりも英語力の問題のような気もしますが。

  投稿者:sym - 2007/09/29(Sat) 16:58  No.2604 
> I)あいまいさを避ける(avoid ambiguities)というのが分かりません。
> II)mの形が決まっちゃう理由が分かりません。
> III)定数を1にとっていい理由が分かりません。

さずがにこれはちょっと・・・。
どれも少し考えればすぐ分かると思いますが、
まぁーでもっ、不明な点をあやふやにせず分からないって言ってしまえるのは誠実?だし、理解の一歩手前ってことですよね?

T)avoid ambiguities

まずmをこのようにしないと証明のどの部分が使えなくなるか探してみてください。「それ」が理由です。

U)mの形が決まる理由

前に、引っかかりそうだなと思い、発言したことがあります。それを参考に考えてみてください。

III)定数を1にとっていい理由

これは別に1でなくても構わない、ただ、そうした場合、どのような状況になるか考えてみてください。

>数学や物理の問題というよりも英語力の問題のような気もしますが。

これだけ読めれば十分!

  投稿者:くるみ - 2007/09/29(Sat) 20:01  No.2612 
すぐに答えを言わないでヒントをくれながら導いてくれるそのスタイルにはいつも感謝しています。にもかかわらず中々理解できないでいるのに、呆れず付き合って下さってほんとうにありがとうございます。

>証明のどの部分が使えなくなるか

m(培X_i|^2)^{1/2}=芭(|X_i|)←ここでしょうか?

>それを参考に考えてみてください。

No.2498でしょうか。mの形のひとつの可能性としてあの形が考えられるというなら分かるのですが、唯一無二の可能性である理由が分からないでいます。

>これは別に1でなくても構わない

好きなように勝手に決めていい理由が分かりません。

>どのような状況

全測度の和が1になると思うんですが、なぜ全測度の和が1になるのかが分かりません。

  投稿者:sym - 2007/09/30(Sun) 01:27  No.2620 
>ここでしょうか?
おそらく、ここですね。

Σm(u_i) = Σm(u_i^2)^1/2

この等式が使えなくなります。

>唯一無二の可能性
厳密な証明が必要だとお考えなのでしょうか?

>決めていい理由が分かりません。
決めてはいけない理由が分かりません。
>どのような状況
cをかけた状況です。

>全測度の和が1
状態ベクトルが規格化されているからです。

  投稿者:くるみ - 2007/09/30(Sun) 05:53  No.2623 
>この等式が使えなくなります。

m(u_i)=m(|u_i|)じゃなくてもm(u_i)=m(u_i^2)^1/2は成り立つと思うのですが。u_i=m(u_i^2)^1/2は任意の複素数に対して成り立ちますよね?

>厳密な証明が必要だとお考えなのでしょうか?

そういうわけではないのですが、(3)がユニークに求まるためにはmの形もユニークに定まるのではないかと思ったのです。

>状態ベクトルが規格化されているからです。

状態ベクトルが規格化されていて、かつYが恒等演算子の場合ですよね?ここでひとつ保留にしていた質問があるのですが、Yが恒等演算子であることはどこに書いてあるのでしょうか?いまだに見つけられないでいるのですが…。

  投稿者:sym - 2007/09/30(Sun) 15:13  No.2632 
>u_i=m(u_i^2)^1/2は任意の複素数に対して成り立ちますよね?

u_i=(u_i^2)^1/2の間違えですよね?
右辺の値として候補が2つあります。どちらかが当たりで、もう片方がはずれですが、選ぶことはできないです。

>(3)がユニークに求まるためにはmの形もユニークに定まるのではないかと思ったのです。

どう答えたらよいのか分からないので、何を考えているか詳しく教えてください。

>Yが恒等演算子であることはどこに書いてあるのでしょうか?

Yってどんな演算子か説明できますか?もし、一般の場合が難しかったら、例のスピンのやつで考えてみてください。

  投稿者:くるみ - 2007/09/30(Sun) 20:31  No.2639 
>u_i=(u_i^2)^1/2の間違えですよね?
>右辺の値として候補が2つあります。

仰る通りです…^^;

>詳しく教えてください。

今やっていることは(1)と(2)からユニーク(唯一つに)に(3)が求まるということですよね。そのことを示す途中で「mの形は唯一m(|X_i|)=定数×|X_i|^2に限られる」というのが出てきました。本当にこれがmの唯一の形ならば(3)も唯一に求まるのと思うのですが、もしmの形としてこれ以外にもありえるならば(3)が唯一に求まるというのは違うのではないか?と思ったのです。分かりづらくてごめんなさい。

>Yってどんな演算子か説明できますか?

できません。Yに対して特に制限はないと思います。(Yの制限を述べた記述は見当たりません)
なので、No.2575で私が挙げた例ではどうしていけないのか分かりません。

  投稿者:sym - 2007/10/01(Mon) 03:59  No.2649 
>ユニークに定まる

うーん、
No.2600で論理がひとつとんでいるのは、なぜですか?

>Yの制限を述べた記述は見当たりません

ある重ね合わせ状態をある一つの状態ベクトルが表す、とあります。Yについて記述がないのは、それが、何もしない演算子だからです。

  投稿者:くるみ - 2007/10/01(Mon) 05:05  No.2650 
>No.2600で論理がひとつとんでいるのは、なぜですか?

どこかとんでますか???

>Yについて記述がないのは、それが、何もしない演算子だからです。

なるほど!でもあの記述からそこまで読み取るのは(私の能力では)ちょっと無理です。なんだかどんどん自信が無くなってきました…。式(5)まではなんとか分かりますが、正直言ってそれ以降はサッパリ分かりません。分からないというより式のフォローが全くできません。突然引数がnになったり状態の数が階乗で表されてたり、Fが何の説明もなく登場したかと思ったら、なぜか微分してるし。M=2、N=3っていう超シンプルな場合で考えてみても分からないし。
symさん、私には何が足りないと思いますか?私にも理解できるものなのでしょうか・・・。

  投稿者:sym - 2007/10/01(Mon) 05:48  No.2652 
>どこかとんでますか???

g(x)のところです。

>それ以降

あれは統計力学でよく使う手法なのですが、事前に知っていなかったら、ふつう、サッパリだと思います^^;くるみさんはアンサンブルって言葉を使っていたので、てっきりご存知なのかと思っていました。

やっていること自体は簡単です。Fが最大(極値)となるnをラグランジュの未定乗数法を使って求めているだけです。
引数は対象を指定できれば良く、Fはmの対数に拘束条件を足したもので、その極値を求めたくて微分しているのです。

  投稿者:くるみ - 2007/10/01(Mon) 07:37  No.2653 
統計力学ですか!?統計力学はこれっぽっちもかじった事ありませんでした。ラグランジュの未定乗数法も知りませんでした。勉強不足ですね。がんばります。

>g(x)のところです。

mの形を決めるためだけに一時的に新しい関数を持ち出すのがわずらわしかったので、g(x)のところをm(x)^1/2に置き換えてmのままやってしまいました^^;

  投稿者:sym - 2007/10/01(Mon) 08:05  No.2655 
>g(x)のところです。

くるみさん、ここの論理は分かりますか?ここが重要なところです。

  投稿者:くるみ - 2007/10/01(Mon) 08:36  No.2656 
(27)から(31)までの間で分からないことはありません。ただ、もしかしたら分かったつもりになっているだけかも知れないので信用しないで下さい(笑)どこが重要なんですか?私は、全部重要だと思いますが、g(x)≡m(x)^1/2を新たに導入する意味は、式を見やすくすること意外に意味があるとは考えていません。

  投稿者:sym - 2007/10/01(Mon) 11:13  No.2657 
>どこが重要なんですか?

たしかにg(x)の導入は、式の見通しを良くし読者の理解を促すことにあるのですが、ここは、
議論の核心部分です。
ここが分かるのに、なぜ疑うのか、不思議です。

  投稿者:くるみ - 2007/10/01(Mon) 13:53  No.2658 
>ここの論理は分かりますか?ここが重要なところです。

ここで言いたいのは、(29)のように狽ェ出し入れできるということはgの形としては(30)のようなものしかありえない、ということですよね?
言われてみれば確かに核心部分です、ハイ。

  投稿者:sym - 2007/10/01(Mon) 14:10  No.2659 
そういうことです。もう疑問はないですよね?

  投稿者:くるみ - 2007/10/02(Tue) 03:59  No.2668 
ハイ!大丈夫です^^b

とりあえず(7)までは分かりました。ただいま、(8)以降を理解するためにラグランジュの未定乗数法を勉強中です。いましばらくお付き合い下さい。

  投稿者:くるみ - 2007/10/02(Tue) 04:50  No.2669 
その前に。

そもそもなぜ極値をとるnの値を求めるのですか?

  投稿者:sym - 2007/10/02(Tue) 09:04  No.2671 
えっ、何をしようとしているか大体分かっていたのでは・・・?

えーと、
結論である度数を調べて、測度と測定確率が一致することを確認するためです。

  投稿者:くるみ - 2007/10/02(Tue) 11:36  No.2673 
>何をしようとしているか大体分かっていたのでは・・・?

そこはたぶん「大体」って言葉の解釈の違いかと…。極値をとるnの値を求めようとしていることは分かりますが、なぜそのようなことをするのかまでは分かりません。測度と測定確率が一致することを確認するためになぜ「極値」が登場するのかが分からないんです。しかもmの極値じゃなくてlogmの極値なので、もう何がなんだか全く分かりません。理解するための前提の知識として未定乗数法以外にも何かあるのでしょうか?何を理解していないせいでこれが理解できないのか、が分かりません。逆に、何を理解していればこれを理解できるのでしょうか?

>結論である度数を調べて

度数とは何でしょうか?

  投稿者:sym - 2007/10/02(Tue) 12:17  No.2674 
>理解するための前提の知識として未定乗数法以外にも何かあるのでしょうか?

あとは、中学の数学の知識ぐらいあれば・・・たぶん。


えーと、どこから片付けましょうか。
まぁー、ひとつずつ、ゆっくりと片付けてゆくことにしましょう。
まず最初に考えなければいけないのは・・・

「確率とは何か?」

ですね。
中学ぐらいの頃、確率や統計の勉強ってしました?そこでやったことを思い出してみてください。

  投稿者:くるみ - 2007/10/02(Tue) 16:54  No.2679 
>確率とは何か?

これは前に書いた通り、

ある事象の起こる確率=その事象の起こる場合の数÷全ての事象が起こる場合の数

で大丈夫ですよね?そもそもこのスレッドを立てた理由は、量子力学の確率解釈の式が、この確率の定義から計算されたものではなく、突然与えられてる点に疑問をもったのが始まりです。そして(11)の左辺はまさにその形になってるので、この論文を理解すれば何か分かるんじゃないかと思ったのです。

  投稿者:hirota - 2007/10/02(Tue) 17:01  No.2680 
場合の数の比で確率を表せるのは、各場合が等確率のときだけですよ。

  投稿者:sym - 2007/10/02(Tue) 17:39  No.2681 
>ある事象の起こる確率=その事象の起こる場合の数÷全ての事象が起こる場合の数

この確率の定義を、初めて、聞いたとき不思議に思いませんでしたか。私は今でも、ちょっと不思議だなと思います。

さて、なぜ、この式で確率を求めることができるのでしょうか。
この定義こそ、突然、与えられたものではなかったでしょうか。

くるみさん、どうして、どのように、この定義を受け入れたか覚えていますか?

  投稿者:くるみ - 2007/10/03(Wed) 02:34  No.2687 
>場合の数の比で確率を表せるのは、各場合が等確率のときだけですよ。

それは同様に確からしいということでしょうか?今の場合でも十分通用すると思うのですが。ただ、サイコロでいえば、6面すべてに異なるラベルがついているのではなく例えば3面には1、2面には2、1面には3が書かれているサイコロのようなもので、どの面が出る確率も同様に確からしいので、結果的に1の出る確率が高くなるような、そんなものなのかと。状態ベクトルも、展開係数がすべて等しければどの固有値を得る確率も同様に確からしいですよね。…って、もしかして全然的外れなこと言ってます???

>どうして、どのように、この定義を受け入れたか覚えていますか?

質問の意図がよく分からないので想像で答えさせていただきますが…、定義に対してなぜそのように定義するのかを問うことは無意味だと思うのですが。特に不思議に思ったこともありませんでしたし、今となっては、私の頭はこの定義のみで完全に毒されております。

  投稿者:sym - 2007/10/03(Wed) 04:33  No.2688 
>どの面が出る確率も同様に確からしい

本当ですか!?面が欠けていたり、重心が偏ったりしていませんか。そのサイコロ、もし、あなたが怪しい賭場にいるのなら、いかさまサイコロかどうか疑ったほうが良いですよ。

それにしても、どの教科書にも書いてある確からしいという表現は、いったい何なんでしょうか。あいまいに「らしい」と付けず、同様に確かだ!と言い切る歯切れの良い教科書はないのでしょうか。

もうひとつ例を挙げたいのですが良い例がなかなか見つからなくて困っています。えーと、うーん、降水確率!これはどうでしょうか。場合の数を、数え上げることができないですよ。

  投稿者:くるみ - 2007/10/03(Wed) 08:41  No.2689 
なるほど。そう言われていれば、確かに。自然には、まして量子力学のようなミクロなものならいかさまはないという仮定を勝手に置いていました。

>場合の数を、数え上げることができないですよ。

理論的に数え上げられない場合は実験で数えるって習った気がします。N回実験して、求める確率の事象がn回起これば、確率はn/Nで、これはN→∞の極限で必ずある値に収束すると。
量子力学なら、ある状態に対して独立にN回実験をしたうち、ある固有値を測定値として得た回数がn回ならば、その固有値を得る確率はn/N as N→∞ですね。これが定義ですね。なので私の疑問は、この値を理論的に求めることはできないのか?ということですね。天気の場合は非線形なので無理そうですけど、シュレーディンガー方程式は線形なのでできそうな気がするのです。

  投稿者:sym - 2007/10/03(Wed) 13:01  No.2690 
>これが定義ですね。

そうです。とりあえずは、これが定義だと思っていただいても問題はないと思います。ちなみに、nのことを度数と呼んだり、このことを大数の法則と呼んだり、もします。

>この値を理論的に求めることはできないのか?

[3]では、この定義通りに確率(起こりやすさ)を求めています。

  投稿者:hirota - 2007/10/03(Wed) 13:02  No.2691 
>係数がすべて等しければどの固有値を得る確率も同様に確からしい
これは、「確率が係数によって決まる」と思ってるわけですね。
すると、確率の性質「全部足すと1」を満たすような「係数から決まる値」は「絶対値の2乗」しかないのですから、何も疑問を持つ必要はないですな。
それを認めないなら、「係数は確率と無関係」ということですから、係数が等しくても同様に確からしいなんて言えないでしょう。
最初に見聞きしたことで先入観を持つのは良くあることですが、先入観と矛盾する経験を得ることで修正されていくのが学習てもんです。(特に法則・論理というのは個々の経験に分解できないほど大量の経験が圧縮されたものです)

  投稿者:くるみ - 2007/10/03(Wed) 20:51  No.2697 
>[3]では、この定義通りに確率(起こりやすさ)を求めています。

そうだと思うのですが、それと「極値」とどう関係あるのでしょうか?

>「確率が係数によって決まる」と思ってるわけですね。

はい。ただ、これは私が前のスレッドの一番最初の方で言っていたものと同じで、あくまで射影仮説を認めた場合です。

>確率の性質「全部足すと1」を満たすような「係数から決まる値」は「絶対値の2乗」しかないのですから

なるほど!こう考えれば良かったんですね!今頃になってやっと分かりました。

ただ、

しつこいですが、これはあくまで射影仮説を適用した場合の話です。ところが「射影仮説を持ち出さなくても係数が絶対値の2乗だということが求められる」(←これが本当かどうかを知りたくて[3]を読んでいます)ということを知ってしまったので、やっぱり射影仮説は使いたくありません。つまり、確率が係数によって決まるという前提を置きたくありません。

  投稿者:sym - 2007/10/03(Wed) 21:36  No.2698 
>それと「極値」とどう関係あるのでしょうか?

残りの問題は計算テクニックだけだと思うんですが・・・うーん、例えばM=2の場合でNを増やしていくと、どうなるか分かりますか?

  投稿者:くるみ - 2007/10/04(Thu) 15:23  No.2709 
>どうなるか分かりますか?

何がですか?測度ですか?確率ですか?

  投稿者:sym - 2007/10/04(Thu) 19:31  No.2710 
>何がですか?

選択肢は無いと思うんですが・・・とりあえず、どのような状況になっていくのか、くるみさんの頭の中で想像して頂ければ良いと思います。
それでも何をやっているのか分からないようでしたら・・・うーん。

  投稿者:くるみ - 2007/10/07(Sun) 14:52  No.2748 
Nを大きくしていけばn_i/Nが確率に段々近づいていき、N→∞の極限で確率に一致する。
これくらいしか分かりません。

  投稿者:sym - 2007/10/08(Mon) 16:26  No.2761 
>Nを大きくしていけばn_i/Nが確率に段々近づいていき、N→∞の極限で確率に一致する。

この文章、正しいようにも正しくないようにも読み取れますよ。
えーと、例えばM=2の場合でAやBに適当な値を入れて計算されてみてはいかがですか?