EMANの物理学 過去ログ No.2220 〜

 ● 場の量子論の必然性

  投稿者:のほほ - 2007/08/13(Mon) 22:16  No.2220 
最近場の量子論を勉強し始めているのですが、何のために「場の量子論」を考えるのか?という必然性がいまいちわかりません。
Dirac方程式を解いて出てくるエネルギーが負の解も考慮すると相対論に矛盾なく議論が出来る、とかいう話らしいですね。

あと、粒子性と波動性が場を量子化しないとうまく説明できないから、断面積の定義もあいまいになる、という話も聞いたのですがイマイチ、ピンときません。

今挙げた例でなくても構わないので、なぜ場を量子化する必要性があるのか? という疑問にお答えいただけないでしょうか?
友人は、場の量子化をさも「必然」であるかのように話すので、あえて上のようなタイトルにさせていただきました。

  投稿者:TOSHI - 2007/08/14(Tue) 14:27  No.2222 
 こんにちは。のほほさん、TOSHIと申します。

 もともと場の量子論というのは光=電磁波の量子論であるQED=量子電磁力学が光と電子以外のいろいろな粒子に適用するために拡張されたものです。

 普通のシュレーディンガーやハイゼンベルクの量子力学というのは歴史的には水素原子などから放出される光スペクトルの振動数などを現象論的に理解するために電子などで崩壊したりしないという前提の安定な1粒子の運動を扱うものとして構成されたものです。

 黒体輻射など光の吸収や放出現象の解釈から始まった量子力学なのに、肝心の粒子描像よりも波動描像としてしか見れない光=電磁場=輻射場については1粒子の波動関数に対応するものがないので普通の量子力学ではうまく扱えなかったわけです。

 そもそも光=電磁場のマクスウェルの方程式は元から相対論で書かれた式なのでディラックが粒子の相対論的方程式を作ったときに彼が電磁場を量子化してQED=量子電磁力学をつくったのが最初のほうだと思います。

 要するに古典論では安定した1個の粒子としての描像がない光などは最初から「1粒子問題」として扱うのが困難だったわけです。

 「1粒子問題」の拡張としての「多体問題」としては近似理論なら「ハートリー近似」などがありますが、厳密な理論構成を目指し、さまざま不安定な粒子や波の崩壊現象や生成・消滅現象を扱うならいわゆる「場の量子論」を構成したほうが好都合だったので現在のような必要性が生じたと思います。

 主に粒子的でしかも崩壊や生成など一見エネルギーや質量が生じたり消えたりすると見えるような非弾性現象がない安定な
な粒子のみを扱い「1粒子問題」がほとんどであったり、光の放出確率などについては特別扱いすることで説明可能な現象の記述に限るなら特に場の量子論は必要ないでしょう。

                TOSHI

  投稿者:ワイル - 2007/08/14(Tue) 23:26  No.2223 
こんばんは。

こまかい数学的な話は別として、いわゆる4つの相互作用の理論として、「場の量子論」という理論は、かなり、なんとなく辻褄合った考えに感じます。

また、そこが理解できるかどうかが、特殊相対論や量子力学の必然性を理解できるかの分かれ目とも思えます。

逆に「場の量子論」からすれば、古典的な特殊相対論や、(非相対論的)量子力学は、なんとなく、中途半端な理論にも思えてくる。

重力理論についても、現代では、(未完成理論ながら)超ひも理論の低エネルギー極限として、一般相対論を導きだすことができると言う話があります(さらに、一般相対論において、重力を打ち消すことができると、特殊相対論を導きだすことができる)。

どちらにせよ、現代では、アインシュタインがいなくても相対論は、出てきていた、ということも確かでしょう。



  投稿者:Φマン - 2007/08/15(Wed) 01:09  No.2224 
>>どちらにせよ、現代では、アインシュタインがいなくても相対論は、出てきていた、ということも確かでしょう。

科学の進歩や歴史について述べるときに、憶測で議論するのは相当の注意を要します。アインシュタインがいなくても相対論が出てきたと確信をもって言える人がいるとは驚きです。

大体、「場の量子論の必然性」に関する質問にたいして、締めくくりの文章が、なぜそうなるんでしょうか。文と文を適当な接続詞でつなぎ、ただ自分の望む内容へと話題をずらすのは極力控えて欲しいと思うのは私だけでしょうか。雑談をしたいのなら適切なタイトルで新たなスレッドを作る方が良いのではないかと思います。

私一人がそういった風に思っていて、場違いなコメントをしているというなら、素直に謝りますが。

  投稿者:Φマン - 2007/08/15(Wed) 01:59  No.2225 
多粒子系の量子力学を発展させたという視点では、TOSHIさんが解答しています。もう一つの視点は「相対論的な量子力学」という方向からの発展だと思います。

つまり相対論的な量子力学をつくれば、多粒子系も扱え、さらにローレンツ対称性とゲージ原理から相互作用がほぼ一意的に決まるという利点があったと思います。当時の物理学者は光と電子の相互作用を導くのに何か指導原理が必要だと考えており、それはトーマス歳差の問題などでパウリなどもそういった方向性を指摘しています。

一方ディラックは、所謂「負の確立問題」が相対論的な量子力学を作れば解決すると考えており、ディラック方程式を発展させたわけですが、最終的にはこういった問題も場の理論へ行けば解決できるということがわかってきたわけです。そういった意味で、現代的な視点では 

相対論的な量子力学=場の理論

ですが、これは自明ではなかった思います。実際科学者は色々と別な可能性を調べてきたわけです、最終的に生き残ったのは場の理論だったという事ではないでしょうか。つまり、色々な問題点を解決して、場の理論は何かよさそうだという流れではないでしょうか。

現代の視点から見ればで必然といえるかもしれませんが、歴史を振り返ると、それはある意味後付けの理由かもしれません。なぜ場を量子化するかという事を考えすぎて時間を使うより、場を量子化してみて、どううまくいくのかという事を理解した方が時間の節約に思えます。勿論良く考える事は大事なので、それを軽視するわけではありませんが。

  投稿者:のほほ - 2007/08/15(Wed) 19:01  No.2226 
みなさん、お答えありがとうございました。

>TOSHIさん

Dirac 方程式など、相対論的量子力学を考慮しないと、光やしいては”真空”という概念の見通しがよくない、という主旨のご指摘だったのでしょうか?
反粒子の生成が自然と導出されたりと、相対論的立場に立って始めて理解できる現象がということを改めて確認でき、少しずつ私の頭の中も見通しがよくなってきた気がします。

>ワイルさん
残念ながら今の私ではそこまでの知識が追いついていませんが、私の聞きたかったのは電弱統一理論とか、大統一理論とかそれ以前の話なのです。
私は「そもそもどうして場の量子論を考えるのか?」という事を聞きたかったのです。それだけに、Φマン さんのおっしゃるように、いささか質問の意図と反れた回答になったことが残念です。

>Φマン さん
そのような歴史的な流れの話をあまり耳にする機会がなかったので、貴重なお話をありがとうございました。
私の別の友人は、「相対論的量子力学」をキッチリやり! また一方で「QED」もキッチリ済ませ!! その上でやっと場の量子論へと入りたい、という様な立場であったので、そうしようとした彼の気持ちもわかってきた気がします。

でも、まず勉強してみてどれだけ有効かを知る、というのもアリですね。

場の量子論は、原子核や物性でも使われていると聞きますし、最近では物性に超ひも理論の手法を適応することもあると聞きます。
やはり、現代的な立場から現象を見るには切っても切れない存在、というのが場の量子論なんでしょうか?
具体的なことはまだまだ勉強中ですが、皆さんのおかげで頑張れそうです! 
ありがとうございます!!


  投稿者:TOSHI - 2007/08/16(Thu) 12:06  No.2227 
 こんにちはのほほさん、TOSHIです。
 
>Dirac 方程式など、相対論的量子力学を考慮しないと、光やしいては”真空”という概念の見通しがよくない、という主旨のご指摘だったのでしょうか?

 いやいや、そもそも光の場合は、場の量子論以外には量子論そのものが全くなかった、という意味です。

 つまり普通の量子力学では電子とか陽子とかの粒子については波動関数を中心とした量子論ですが、光だけは特別扱いで古典電磁気学(マクスウェルの方程式)の電磁場を量子化せずそのまま外場扱いとして使っています。

 普通の量子力学では粒子と「光=電磁気」との相互作用は、例えば古典的な「クーロンポテンシャル」を位置エルギー V(r) としてSchrodingerの波動方程式の中に含めたり、また電磁場の古典4元ポテンシャル Aμ をDiracの波動方程式の中に含めたりして計算するだけなので、光の量子論の見地からは電子などの量子的波動関数に対して光は古典的電場や磁場のままなので光を対等に扱っていないという意味で「半古典論」と呼ばれています。

 そして光を量子化して古典論から量子論(場の理論=QED)に移ったときには、全体の系として厳密な扱いをするためには必然的に光と電磁相互作用をする電荷を持った粒子=電子、陽子などについての量子論も第2量子化して対等に扱う必要性が生じたという意味です。

 光の場合の量子論は、それを作ろうという努力があったのかどうか知りませんが、基本的に光1個だけの量子力学というのは作れなかったので、特別に最初から光子の個数などにあまり左右されない多粒子系の理論形式を作る必要があったのです。

 そこで、どこの位置にどれだけの存在確率で光が存在しているかというような状態関数よりもむしろ、いろいろなエネルギーや運動量を持った光子が何個あるかという情報だけを持つ個数表示の状態ベクトルで状態を記述する「個数表示の量子論=場の量子論」が最適で、最初から「第2量子化=個数量子化」がピッタリだったわけです。

 Diracの相対論的量子力学は単に量子力学を非相対論から特殊相対論に拡張しただけで、それはまだ場の量子論ではないので光の量子論と対等ではありません。それにDirac=seaという空孔理論が本当に反粒子の理論を扱えるようになるためにはやはり第2量子化することが必要です。

 というのはDiracの相対論的方程式は電子などスピンが1/2のフェルミ粒子だけの方程式で、π中間子などのボーズ粒子の方程式はKlein-Gordon方程式で相変わらず波動関数の確率解釈の問題がありボーズ粒子にはDirac=seaという空孔理論は適用できないので負エネルギー解の問題は未解決でしたので結局第2量子化が必要になりました。

                     TOSHI

  投稿者:ワイル - 2007/08/16(Thu) 13:32  No.2228 
こんにちは。

相対論的量子力学と場の量子論の関係については、裳華房刊の「場の量子論」(坂井典佑・著)のP.55のコラムから。

・もともと量子力学は、非相対論的な極限で考えられていた。たとえば、水素原子では、電子はクーロン力で束縛されてできている。そのため、電子の速度は電荷の2乗に比例し、光速度に比べて、微細構造定数α≡e^2/(4πε0)≒1/137 の程度である。この程度を超えて量子力学の精度を上げるためには、相対論を取り入れなければならない。そこでディラックは、1928年にディラック粒子の波動方程式を提案した。相対論ではエネルギーと運動量の関係はE^2=p^2+m^2となる(ただし、c=1)。これには正エネルギー解と負エネルギー解の2つの解E=±√(p^2+m^2)がある。実際、ディラックの波動方程式は正エネルギー解と負エネルギー解があると真空が不安定となる。
真空の不安定性を解決するために、ディラックは、負エネルギー解がすべて詰まっている状態が真空であり、この真空から負エネルギー解が1つ欠けた状態が反粒子であるという”空孔理論”を提唱した。この解釈を成り立たせるためには、多数のディラック粒子が存在している状態を考える必要がある。また、(本書でみたように)、ディラック場は波動関数でなく、粒子を生成消滅する演算子であると考えることで、真空状態を正確に定式化することができる。
1929年に相対論的な場の量子論を最初に定式化したのは、ハイゼンベルクとパウリである。これが現在の場の量子論へと発展した。


  投稿者:ワイル - 2007/08/16(Thu) 14:00  No.2229 
>>この程度を超えて量子力学の精度を上げるためには、相対論を取り入れなければならない。

現在では、量子化学の分野でも、白金(原子番号=78)や金(原子番号=79)などの重元素原子を扱う場合、特殊相対論の効果が必要ということです(相対論的量子化学)。

>>実際、ディラックの波動方程式は正エネルギー解と負エネルギー解があると真空が不安定となる。

古典力学や非相対論的量子力学では、粒子のエネルギーは、ゼロ、あるいは、正のエネルギーの最低値(基底値)以下にはなりえないのですが、負エネルギーの存在を許す相対論的量子力学では、トンネル効果などで、正のエネルギーの粒子が、負のエネルギーになることもできるわけで、そうすると、粒子のエネルギーが、どんどん負のエネルギーになっていってしまい、結局、真空が不安定になっていく、というわけです。


  投稿者:ワイル - 2007/08/16(Thu) 18:45  No.2230 
>>この程度を超えて量子力学の精度を上げるためには、相対論を取り入れなければならない。

以下、「場の量子論」の話からすれば、余談となりそうですが。。。

水素原子の場合、その電子の速さは、微細構造定数α≒1/137程度ということで、非相対論的量子力学(シュレディンガー方程式)での扱いに可能ではあるが、実際に、相対論的量子力学(ディラック方程式)で水素原子を扱ってみると、非相対論的量子力学の場合と違って、その固有エネルギーが、主量子数だけでなく、(軌道角運動量およびスピン角運動量から構成される)角運動量の相対的向きに応じてエネルギーが若干変わる効果(スピン軌道相互作用)などが存在するようです(クーロン外場においては、シュレディンガー方程式もディラック方程式も、解析的に解けるようです)。

つまり、同じ主量子数、異なった角運動量でエネルギー準位がいくつかに分離するというわけである(それが、微細構造)。

さらに、量子電磁力学(QED)からは、電子の自己エネルギー(電子が自分のつくり出した場と相互作用することによって生じるエネルギーの変化)および、真空偏極(電子と真空のゆらぎの相互効果、つまり、電子と真空中で仮想的に生成・消滅している電子・陽電子対との相互効果など)の寄与、また、それらから来る、ディラック理論との励起エネルギーの"ずれ"(いわゆる、ラムシフト)などの効果もあるようだ。

つまり、現在では、水素原子などの原子レベルにおいても、それお精確に扱おうとすれば、ディラック方程式や、さらに量子電磁力学(QED)といった相対論的量子理論における扱いが必要ということですし、さらに、分子間力など分子レベルにおける現象についても、それは同様のようです(以上は、朝倉物理学体系の高柳和夫・著「原子分子物理学」の話に基づいています)。

つまり、ミクロの世界では、原子核・素粒子のレベルだけでなく、分子・原子のレベルでも、現代では、精密には相対論的量子論が必要、ということです(天体力学レベルでも、GPSに象徴されるように、地球くらいの重力現象でも、精密に扱おうとすると、ニュートン理論だけでなく、一般相対論が必要とされている時代です)。
 

  投稿者:のほほ - 2007/08/17(Fri) 12:18  No.2236 
TOSHI さん
>個数表示の状態ベクトルで状態を記述する「個数表示の量子論=場の量子論」が最適で、最初から「第2量子化=個数量子化」がピッタリだったわけです。

この部分は特にわかりやすかったです。
今自分が学んでいる段階がかなり明確になった気がします。
第2量子化も、「状態の違う粒子もまぜこぜにして、それぞれの『個数』をとにかく視覚化する」イメージが少し自分の中で固まり始めています。
ありがとうございました。

  投稿者:のほほ - 2007/08/17(Fri) 12:40  No.2237 
ワイルさん

>水素原子などの原子レベルにおいても、それお精確に扱おうとすれば、ディラック方程式や、さらに量子電磁力学(QED)といった相対論的量子理論における扱いが必要

微細構造と相対論的量子論との関係、QEDとラムシフトとの関係、そういう事実として知っていることが導出された背景を丁寧に解説いただきありがとうございました。
大変参考になります。
勉強へのモチベーションを高めるのにも有効ですし。


とりあえず、今まで色々な方の意見を総合して、
・相対論的量子力学(面倒なので以下RQMと略す)を考える必要性
・一方でRQMの説明できる限界がある→場の量子論への移行
・光子などの例による、第2量子化と場の量子論との適合性

などなど、そんな感じでしょうか?

正体のよくわからなかった「場の量子論」をそのまま勉強し続ける前に一度このように今の自分の立場と今後の展望を明確化できたことは大変有意義でした。

みなさん、本当にありがとうございました。

  投稿者:ワイル - 2007/08/17(Fri) 18:29  No.2238 
こんにちは

>>勉強へのモチベーションを高めるのにも有効ですし。

何でも、勉強を始める前に、それが何の役にたっているかを、知ることは、モチベーションを高めるために必要なのでしょう。

酒の席などで、私達より、かなり年上の人たちが、「微積分やら(相対論やら)勉強して、何の役にたつのか?」と言っていることがあります。

彼らにとっては、
・まず、言葉のとおり、微積分や相対論が、何に役立つのか、分からない。
・微積分や相対論は、難解である。
といった印象があるようです。

しかしながら、いまや、特にミクロの世界においては、量子論とともに、相対論も必須といえるほど、使われているといえます。

さらに、微積分は、物理学などの自然科学だけでなく、経済学や金融などの社会科学でも使われています。

また、微積分も相対論も、ちゃんと勉強すれば、それほど難しいものでも、変なものでもないわけで、微積分なら、中学生で、相対論も、高校生で理解することは可能ですし。

  投稿者:ワイル - 2007/08/17(Fri) 19:04  No.2239 
>水素原子などの原子レベルにおいても、

分子・原子の現象だけでなく、超伝導現象も、現在では精確にはQEDが必要といいます(分野や現象によっては、超伝道現象でQCDが必要になるケースもあるらしい)。

超伝導現象は、物性科学では必須に近いでしょう。

分子・原子の現象や超伝導の現象とQED、原子核の構造・現象とQCD、放射性崩壊とGWS理論というのは、応用分野におけるフロンティア的なものでしょう(特に日本では)が、そういう分野こそ、これからの若い人たちには、うってつけの研究分野でしょう。
(素粒子論や宇宙論などの基礎理論の研究は、特に日本では、民間企業では需要が少ないし、経済的な報酬や評価も難しいでしょう。一方、物性科学、原子力、化学、エレクトロニクスなどの応用分野なら、日本の民間企業などでも需要があるでしょう)

  投稿者:ねじばな - 2007/08/18(Sat) 09:15  No.2240 
ワイルさん こんにちは

>酒の席などで、私達より、かなり年上の人たちが、「微積分やら(相対論やら)勉強して、何の役にたつのか?」と言っていることがあります。

それって 小中学生でも「方程式なんかどうして勉強するの」っていったりすることの類と同じで 酒の席だけじゃないです。

学問には 有形無形の価値があることを みんな知っていると思います。

ワイルさんは ご自分のブログ作ってくださいね。技術のある方のようだから この週末にささっとつくってみてください。

  投稿者:ワイル - 2007/08/18(Sat) 11:03  No.2241 
ねじばなさん、こんにちは

>>それって 小中学生でも「方程式なんかどうして勉強するの」っていったりすることの類と同じで 酒の席だけじゃないです。

まあ、日本では、マスコミなどの間でも、そういうレベルの話が、まかり通っている、といえるのではないでしょうか?

>>学問には 有形無形の価値があることを みんな知っていると思います。

まず、それを教えることも必要だろうし、それが、いろいろなところで使われています、という話をすれば、子供や若い人などの将来の指針になる可能性もありますよね?