EMANの物理学 過去ログ No.2057 〜

 ● テンソルについて

  投稿者:kane - 2007/07/24(Tue) 18:07  No.2057 
はじめましてkaneといいます。
分からないことがあります。教えていただけたら幸いです。

Tνμ を二階共変テンソル(の成分)、U^ν、U^μを(反変ベクトル(の成分)としたとき、TνμU^νU^μがスカラーとなることがわからないのですが・・・
Tν'μ'U^ν'U^μ'=TνμU^νU^μ

どう、導き出せばいいのでしょうか。^は上付きです。



よろしくお願いします。

  投稿者:EMAN - 2007/07/24(Tue) 19:01  No.2059 
 kaneさん、もう少しご自分の頭を使った方が良いですよ。
 物理にも、物理以外にもです。

  投稿者:kane - 2007/07/24(Tue) 19:14  No.2060 
すみません、もう少し考えてみます。

  投稿者:ワイル - 2007/07/24(Tue) 23:18  No.2061 
こんばんは

>>Tνμ を二階共変テンソル(の成分)、U^ν、U^μを(反変ベクトル(の成分)としたとき、TνμU^νU^μがスカラーとなることがわからないのですが・・・
Tν'μ'U^ν'U^μ'=TνμU^νU^μ

ヒントを与えましょう。
1.まず、この場合、テンソルと反変ベクトルの両方で、下付きと上付きとで、同じ添え字(νとμ)が現れていますが、この場合は、その添え字について、総和をとるということです(アインシュタインの規約)

つまり、
TνμU^νU^μ = Σ(Σ TνμU^νU^μ) [ ただし、μ、ν について、1から、たとえば整数nまで、総和をとる ]
です。

2.一番簡単な、2次元の場合でやってみよう!!
つまり、μ、ν = 1, 2 です。

すると、

TνμU^νU^μ = T11・U^1・U^1 + T12・U^1・U^2 + T21・U^2・U^1 + T22・U^2・U^2

ということです。

すると、どうなりますか?


  投稿者:T_NAKA - 2007/07/25(Wed) 09:55  No.2065 
「スカラー」というのは「座標変換で値を変えないもの」です。
したがって、ご提示の式

>Tν'μ'U^ν'U^μ'=TνμU^νU^μ

を素直に導けばいいことになります。
テンソルにしてもベクトルにしても、反変/共変というのは座標変換の影響の受け方ということだから、変換式は教科書に載っているはずですね。
それを当て嵌めれば求まるんじゃないですか?