EMANの物理学 過去ログ No.1664 〜

 ● ガウス関数

  投稿者:金田 - 2007/06/13(Wed) 03:05  No.1664 
はじめまして、今日の授業でやったところがわからなくて、メッセージをかきました。
ガウス関数 (1/σ√2π)exp(-t^2/2σ^2)
をフーリエ変換するのですが・・・
途中の計算が全くわかりません。
どなたか分かりますでしょうか。よろしくお願いします。

  投稿者:のほほ - 2007/06/13(Wed) 08:18  No.1665 
exp の中を平方完成すれば、{t-i(σ^2)ω}^2 みたいな項が出てくるから、ガウス積分すれば、ωの2乗の項だけが残るはずです。(定数倍無視してますが)
複素積分になるから、どう〜、とか細かい話を気にしなければそんな感じですよね?
さらに細かい話だと、規格化定数が間違ってますね。
2乗積分が1になって欲しいんだから、{σ√π}^(-1/2)じゃないですか??

大事なのは、ωとt の分散がσの逆数とσになる、ってことですか。
だから、コレを掛け合わせると一定値になりますね。
量子力学の不確定性関係と、波動力学の兼ね合いが見えるいい計算ですね。

ガウス波束は最小不確定関係が成り立つ、というのを感じてやってくださいね。

  投稿者:EMAN - 2007/06/13(Wed) 12:04  No.1667 
> 途中の計算が全くわかりません。


 掲示板ですべてを説明するのは少々面倒です。

 金田さんがすでに何らかの教科書を見つけていて、そこに載っている式変形の「ここが分からない」というピンポイントの質問でしたら、答える側の負担も少ないのですが。

 ガウス関数のフーリエ変換はかなり高い頻度で出てくる話ですから、授業でそのようなことをやる学校の図書館ならば、それほど苦労なく、目的のものが見付かると思います。

 近頃はネットという便利なものがありまして、私たちの頃の苦労とは比べ物にならないくらい、調べものが楽になりました。

 例えば google で「フーリエ変換 ガウス」で検索して下さい。 目的のものがトップに出てきますね。

 「ガウス分布」とか「ガウス関数」とかをキーワードにしないで、複数の呼ばれ方のある曖昧なものは、わざとぼかして「ガウス」として検索するところが検索テクニックの一つなのですけど。




 のほほさん、

> さらに細かい話だと、規格化定数が間違ってますね。
> 2乗積分が1になって欲しいんだから

 それは量子力学の話ですよ。


  投稿者:のほほ - 2007/06/13(Wed) 22:57  No.1673 
>それは量子力学の話ですよ。

量子力学というより、函数空間内での内積というのは積分で表すのが一般的ですよね?
(f,g)=∫*f・g dx (*fはfの複素共役)で定義していれば問題ないですよね?

それに対して、f のノルムを‖f‖=√(f,f) として定義すれば函数に対する絶対値を表せて、規格化定数というのはそういうものに付随する概念ですよね?

だから、量子力学の話、などと端的に切り捨てるような簡単な話ではないと思います。

  投稿者:凡人 - 2007/06/14(Thu) 00:06  No.1674 
ガウス関数のフーリエ変換後の関数は、同じタイプの関数になるという事で宜しかったでしょうか?
そうだとすれば、
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?qid=2964942
が参考になりませんでしょうか?

  投稿者:T_NAKA - 2007/06/14(Thu) 09:01  No.1675  <Home>
f(x)=(1/σ√2π)exp(-x^2/2σ^2) 自体は「平均値=0、標準偏差=σ」の正規分布の確率密度関数を表す式ですよね。

量子力学的に言えば、f(x)=φ(x)*φ(x) にあたるものだと考えます。
のほほさんの仰っているのは、 φ(x)のことに相当すると思いました。

題意に戻れば、「f(x)をフーリエ展開せよ」ということなので、単純に

F(k)=(1/√2π)∫f(x)exp(-ikx)dx  (積分範囲:-∞→+∞)

を計算すれば良いのですが、exp(-x^2/2σ^2-ikx)の積分が問題になると思います。
それについては皆さんがヒントを出しておられるので、参考にされれば良いと思いますが、私もひとつ。。

a≡σ^2 とすると、

x^2/2σ^2+ikx=(1/2a)(x^2+2ikax)=(1/2a){x^2+2ikax-(ka)^2+(ka)^2}
=(1/2a){(x+ika)^2+(ka)^2}={(x+ika)^2/2a}+{(k^2)a/2}

なるので、xを含むものと、含まないものに分離できます。

exp{-(1/2a)(x^2+2ikax)}=exp{-(x+ika)^2/2a}exp{-(k^2)a/2}

ここで、x'≡x+ika とすれば、exp(-x'^2/2a)exp{-(k^2)a/2} 積分できる形になります。
これが、最初に のほほ さんの仰っていたことでしょう。

  投稿者:EMAN - 2007/06/14(Thu) 12:12  No.1676 
> だから、量子力学の話、などと端的に切り捨てるような簡単な話ではないと思います。


 のほほさん、きつく聞こえてしまったようでごめんなさい。 一言で意図が伝わるだろうという甘えた考えで、軽く済ませてしまいました。

 急いでいたのと、金田さんの心情を中心に考えていたことが原因だと思います。
 「これは量子力学の話だから、後半で何を言っているか分からなくてもそれほど気にしなくていいですよ」という金田さんへのメッセージにもなるだろうと考えたのです。


 私がのほほさんの文のどこを引用したかをどうか注意して見て下さい。
 ガウス分布は量子力学だけに出てくる話ではないので、2乗積分したものの規格化を理由に、「係数が間違っている」と言ってしまうのはちょっと視野が狭すぎるでしょう、と言いたかったのです。

 事実、その係数は誤りではありません。

 恐らく右も左も分からないでいるだろう金田さんにいきなりそんな話をぶつけても、それが何のことなのか確かめようもなく、負担を増やしてしまうだけだから、かわいそうだと思いました。

  投稿者:Shari - 2007/06/14(Thu) 17:04  No.1677 
のほほさん、はじめまして。Shariといいます。

僕も最初、のほほさんのコメントを見た時、EMANさんと同じような感想を持ちました。
(あっ、別にのほほさんを批判してるわけではありません。)

話はそれるのですが、僕が学部生の頃、のほほさんの言われた不確定性関係の説明を見たとき、
それまで、わけの分からなかった、不確定性というものが、少々あっけなく(?)感じてしまいました。
もちろん、当時の(今も)僕の理解は十分では、なかったのですが。。。

なんか、のほほさんのコメントを見た時、ふと思ったことをコメントさせていただきました。
のほほさん、これからもどうぞ、よろしくお願いします。

  投稿者:のほほ - 2007/06/15(Fri) 01:51  No.1678 
>EMANさん
私も言葉に対して過敏に反応し過ぎました。
失礼な発言になってしまった事、申し訳なく思っています。
規格化定数ですが、確かに金田さんの係数はそのまま積分すれば1になりますね。そういう意味で規格化されてる、というわけですね。
最近量子力学を勉強しているものなので、頭がそっちに行ってしまっていました。

>Shari さん
はじめまして。こちらこそ、よろしくお願いします。
確かに不確定性関係の説明はわかりにくいですし、色々ありますよね?
でも、波動力学的な見方をしてしまった以上、仕方ないという感じはしますけどね。
「粒子」=「波束」と見ているのですから、普段使わないやや数学的な思考が必要な概念なのでしょうね。

私もそんなにしっかりわかっていませんが、イメージとしては「粒子に大きさ(体積)が存在するから」と漠然と感じています。

不確定性関係というのは最近友人とも少し議論しましたが、2種類あるらしいですね。
純粋に理論から出てくる関係と、それとは別に観測の分解能からくる観測上の問題と、2種類あるわけですね。
この2つはよく混合されるから余計に話がわかりにくくなっている、という話です。

結局の所、量子力学とは「今のところ大きな矛盾が発見されていないひとつの見方」ですから、もっといい見方があるのなら、不確定性関係をもっと展望よくすることが出来るかもしれませんね。