EMANの物理学 過去ログ No.1283 〜

 ● Lie Algebra

  投稿者:のほほ - 2007/04/05(Thu) 20:20  No.1283 
ちょっとLie 代数について勉強してみている途中なんですが、色々と定義を追うのが精一杯でなかなか本質的なものが見えてきません。
私自身は多様体の基本的知識くらいはありますので、Lie 微分の所はまだわかったのですが、それ以後のLie群などがイマイチわかりません。

物理的な応用がよくわかるような本をご存知でないですか?
また、Lie代数がどのような場面で物理に応用されているのか教えていただけると幸いです。
交換子のオンパレードになる量子力学もひとつの例なのでしょうが、それ以外にも何かありますでしょうか?

  投稿者:のほほ - 2007/04/07(Sat) 23:50  No.1289 
全く音沙汰がないので、EMANさんは多忙なのでしょうか?
このサイト内で、Lie代数に触れている項目ってありますか?
一応、ざっと見た感じではない気がしましたが。

Lie代数ってそんなに難しいものなのでしょうか?
数学的準備はあまり必要はない気はしますが。

  投稿者:EMAN - 2007/04/08(Sun) 00:29  No.1291 
> 全く音沙汰がないので、EMANさんは多忙なのでしょうか?

 そう。 普段からめちゃくちゃ多忙。
 深夜労働に加え、掃除、洗濯、買い物、子供の世話、
妻のご機嫌取り、メールへの返事など。

 今は、選挙のためにかなりの時間を費やして研究している。
 候補者がめちゃくちゃ多いくせに、情報が少なくて、
最良の人を選ぶのに非常に苦労している。

 で、Lie代数は、今のところ必要がないので説明してません。

 必要最小限の解説と、
もやもやを晴らすための適度な寄り道を
方針にしてますので。

  投稿者:あもん - 2007/04/08(Sun) 00:53  No.1292 

> 物理的な応用がよくわかるような本をご存知でないですか?

シュッツ「物理学における幾何学的方法」

という本が有名で、一応、相対論、量子論、流体力学などへの応用が書いてあるけど、お薦めできるほどではありませんね。座標を用いない抽象的な形式を採用しているために、ちょっと実用から遠いので。でも時間に余裕があれば読んでみると良いでしょう。Lie 代数はもちろん、微分幾何学全般の内容がよくわかります。

> また、Lie代数がどのような場面で物理に応用されているのか教えていただけると幸いです。

基本的な事項では、

量子論における角運動量(やスピン): SO(3)〜SU(2)
相対論的なスピノル: SO(3,1)〜SL(2,C)
一様等方宇宙論のキリングベクトル: SO(4), SO(3,1)
ハドロンの近似的分類(QCD): SU(3)

などかな。無論、場の量子論においては常に重要になります。それは一般に、対称性に基づくネーター型保存量が、量子論においては対応する変換の Lie 代数(生成子)になるからです。

  投稿者:のほほ - 2007/04/10(Tue) 06:07  No.1298 
>>EMANさん
>妻のご機嫌取り、メールへの返事など。

確かに多忙のようですね。特に前者などは大変でしょう。
わざわざお返事ありがとうございました。

>>あもんさん
シュッツのその本は知りませんでした。
ちょっと落ち着いた時間の取れるときに読んでみようと思います。
やはり、量子論では重要なのですね。
ぼちぼちと勉強させていただきます。
ありがとうございました。

  投稿者:EMAN - 2007/04/10(Tue) 06:50  No.1300 
> 確かに多忙のようですね。特に前者などは大変でしょう。

 一時期は
 「過労死直前のサラリーマンが物理を語るサイト」
なんて呼ばれてたこともあります。
 最近はWeb上で愚痴るのをやめましたのでね。
 ワンパターンでつまらないから。

 さて、今日はもっと効率よくサイト更新できるように
早寝早起きしてきたわけですが・・・、
どうして一緒になって起きてくるかなー。嫁さんと息子。

 そうそう、思い出しましたが、群論の記事の下書きを
始めたことは数年前にあったのですよ。
 量子力学に繋がるかと思って。
 でもあまり利点が見出せなかったので中止しました。

  投稿者:いち - 2007/04/10(Tue) 07:44  No.1301 
>どうして一緒になって起きてくるかなー。嫁さんと息子。

(≧▽≦)ブァーハッハッ!

夜「うるさいから早く寝てよ〜」と言われたので早く寝たが
朝は朝で「うるさくて寝てられないよ〜」と言われる・・・
そして息子はママと一緒に寝て起きて

目を輝かせて「あそぼ!」

女子供に勝ち目なし!  げらげら o(^▽^)o げらげら

  投稿者:EMAN - 2007/04/10(Tue) 19:13  No.1306 
> 目を輝かせて「あそぼ!」

 今朝の光景を生き生きと再現してくれましたね。
 嬉しくなりましたよ。(^^

  投稿者:ワイル - 2007/04/11(Wed) 16:18  No.1311 
こんにちは

>> そうそう、思い出しましたが、群論の記事の下書きを
始めたことは数年前にあったのですよ。
>> 量子力学に繋がるかと思って。
>> でもあまり利点が見出せなかったので中止しました。

群論と物理学との関わりは、量子力学より、ローレンツ群やポアンカレ群と相対論(あるいは、その非相対論的極限のガリレオ群とニュートン力学)とか、ユニタリ群U(n),特殊ユニタリ群SU(n)とゲージ理論(つまり、電磁気学やヤンミルズ理論)といった方が、わかりやすいかも知れませんね?