EMANの物理学 過去ログ No.1265 〜

 ● 場の量子論

  投稿者:ばいおねす - 2007/03/29(Thu) 23:52  No.1265 
高橋康さんでしたっけ?場の量子論は無限自由度の解析力学だって言ってたよーな。必要なのはネーターの定理くらいだと思ってたんですが、やっぱり解析力学に精通する必要がありそうですか。

せかしちゃ悪いとおもいつつ記事期待しまくってます。

  投稿者:EMAN - 2007/03/30(Fri) 12:32  No.1266 
 昨日、うまく行けば3つくらい記事を更新してやろうと
はりきっていたのですけど、
数日前から違和感のあった右手首が強烈に痛み出し、
キーボードを打てなくなってしまいました。

 でも解析力学の目次だけは少し変更しておきました。
 第4部として「無限自由度の系」というのが
加わっていますでしょう?

 夜は手を動かさなくても激痛が走るほどだったのですが、
今日は会社に来てます。 車で送ってもらったのですけど。
 幸い、今の仕事は高速のキーパンチを必要としないので
助かっています。

  投稿者:ワイル - 2007/04/01(Sun) 22:12  No.1276 
「場の古典論」、ランダウ・リフシッツ著による有名な著書があり、その著書では電磁場および重力場の古典論(古典電磁気学、特殊相対論、一般相対論)の話が中心です。

しかし、現代では、
スカラー場の古典論 ・・・ クライン・ゴードン方程式
(その非相対論的近似は、シュレディンガー方程式)
電磁場およびゲージ場(ベクトル場)の古典論 ・・・ マクスウェル方程式、あるいは、それを拡張したヤンミルズ方程式
(その非相対論的近似は、クーロン・ガウスの静電場方程式および、クーロン・アンペールの静磁場方程式)
ディラック場(スピノル場)の古典論 ・・・ ディラック方程式(その非相対論近似は、シュレディンガー・パウリ方程式)
重力場(テンソル場)の古典論 ・・・ アインシュタイン重力場方程式(その非相対論的近似は、ニュートン・ポアソンの重力場方程式)

ということになるのでしょう。

つまり、「場の理論」からすれば、古典力学、古典電磁気学、特殊相対論、一般相対論、古典ゲージ理論(古典ヤンミルズ理論)だけでなく、非相対論的量子力学、相対論的量子力学も、「場の古典論」となるわけです。

また、古典物理学と古典的幾何学との対応は、

古典力学    ・・・ 曲線の幾何学(ニュートン・ライプニッツの曲線論)
古典電磁気学  ・・・ 曲面の幾何学(ガウスの曲面論)
一般相対論   ・・・ リーマン幾何学
ヤンミルズ理論 ・・・ 接続の幾何学

となるのでしょう。

そして、「場の量子論」および、量子的幾何学の理解のカギは、「経路積分」にあるようです。

  投稿者:ワイル - 2007/04/01(Sun) 22:28  No.1277 
>>やっぱり解析力学に精通する必要がありそうですか。

数学的には、古典力学、場の古典論および、量子力学あたりまでは、微分方程式が議論の中心のようですが、「場の量子論」では、ラグランジアンをもとにした議論が中心のようです。

だから、「場の量子論」では、解析力学や、「場の解析力学」を知る必要がありそうです。

しかし、スカラー、ベクトル、テンソル、スピノルによるポテンシャルの話は、17世紀のガリレオから現代の超ひも理論に至るまで突き抜ける近代・現代物理学の柱、といえるでしょう。