EMANの物理学 過去ログ No.1207 〜

 ● 偏微分

  投稿者:ヒラメ - 2007/03/12(Mon) 20:15  No.1207 
解析力学の「運動方程式の変形」−ラグランジュ方程式の導出−のところで、
TとVを含む式がLのみの式になるところがよくわからないのですが。
偏微分と言うのは関数内にあからさまに含まれている変数だけで微分してやればいいというのは、
どんな意味にとればよいでしょうか。

  投稿者:EMAN - 2007/03/12(Mon) 21:54  No.1208 
L のみの式は、
(d/dt)(∂L/∂v)- ∂L/∂x = 0
という式になっているが、L = T-V なので、
(d/dt)(∂(T-V)/∂v)- ∂(T-V)/∂x = 0
という意味である。
 第1項のかっこの中身 ∂(T-V)/∂v は、展開して
∂T/∂v - ∂V/∂v
ということであるが、
今は T は v の関数になっているが、V は v の関数に
なっていないので、最初の項だけ残ることになる。

 第2項も同じように考えると、もとの式と
同じだと言えるわけだ。

 ・・・・です。

  投稿者:ヒラメ - 2007/03/13(Tue) 13:55  No.1210 
よく考えてみれば、Fが保存力のときT+Vは一定なのだから、
∂(T+V)/∂v = 0 ⇔ ∂T/∂v = -∂V/∂v、
∂(T+V)/∂x = 0 ⇔ ∂V/∂x = -∂T/∂x となって、
(d/dt)(∂T/∂v)+ ∂V/∂x = 0 のとき、
-(d/dt)(∂V/∂v)- ∂T/∂x = 0
だから
(d/dt)(∂(T-V)/∂v)- ∂(T-V)/∂x は
(d/dt)(∂T/∂v)+ ∂V/∂x -(d/dt)(∂V/∂v)- ∂T/∂x となり、
0+0で0、となるのではないでしょうか。
-∂V/∂v と-∂T/∂x がそれぞれ別に消えてしまうわけではないような気がするのですが。





  投稿者:EMAN - 2007/03/13(Tue) 18:19  No.1211 
 ヒラメさんの考えの過程が分かり易くて助かります。

> Fが保存力のときT+Vは一定なのだから、

というので、T+V が何にも依存しない定数だと考えてしまったのですね。 それで、

> ∂(T+V)/∂v = 0

という計算をしてしまっているのだと推察します。
 T+V が一定というのは、時間的に一定の意味であって、
∂(T+V)/∂t = 0 という意味です。
 v で偏微分すれば、0にはなりません。

 昨夜は風邪で、すぐ寝ようと思って慌てて書いたので、
文体が常体になっていてすみません。
 ちょっときつい感じを受けたでしょう?
 この部分は前から、少し不親切だなと
感じていた部分であります。

  投稿者:ヒラメ - 2007/03/13(Tue) 20:54  No.1214 
>T+V が一定というのは、時間的に一定の意味であって、
>∂(T+V)/∂t = 0 という意味です。
>v で偏微分すれば、0にはなりません。

あ、そうですね。うっかりしました。
実は前の文章を送ったすぐあとで、自分が偏微分の捉え方を間違っていたことに気がついて考え直したら、
Vをvで(Tをxで)偏微分すると0になるのは当たり前だと分かったのですが、
じゃあ自分がさっき思いついた、T+V一定の方はどうなるんだろうと、逆に悩んでいたところでした。
どっちもうっかり道を間違えただけのようです。おかげさまですっきりしました。

文章がきついなんて、そんなこと全然。
お風邪とは知らず、とんだタイミングでつまらない質問してしまって、失礼しました。
一方的に質問させていただいているのですから、このトンマ、とくらい書いてくださって構いません(笑)。

  投稿者:のほほ - 2007/03/15(Thu) 07:57  No.1223 
ヒラメさんこんにちは。
大変勉強熱心なようなので、やはり大学の学部生の方でしょうか?
せっかくここまで考えたのでもう少し先の部分も知るのも教育的だと思い少し補足的に口を挟ませていただきます。

ヒラメさんが
>Vをvで(Tをxで)偏微分すると0になるのは当たり前
とおっしゃていますが、そんなことはありません。
一般的なラクランジアンは、Vにv(xの時間微分)を含むことがあります。
例えば電磁場のラグランジアンとか。
そうやって色々知っていくのが、勉強の楽しさですよね!!
一緒に頑張りましょう! 私もまだまだ青い学生なので。

  投稿者:ヒラメ - 2007/03/15(Thu) 21:38  No.1227 
>一般的なラクランジアンは、Vにv(xの時間微分)を含むことがあります。
>例えば電磁場のラグランジアンとか。

そうですか。勉強になります。
実は電磁気の方もまだあまりよく知らないのですが、ちょっとついでに質問してもよいでしょうか。
電流によって発生する磁場は、微小距離を流れる電流による磁場の積分値として考えられるという、
ビオ・サバールの法則のあたりを読みました。
電流が電荷の流れであることが分かっている今ならば、
これは導線を流れる各電荷によって発生する磁場の積分値とも考えてよいのですか。
つまり、磁気力というのは、平行に運動する二つの電荷間に働く力で、
磁場というのは運動する電荷のひとつひとつが作り出すものだ、と思ってよいのでしょうか。
ちょうどクーロン力が二つの電荷間にはたらく力であり、
電場が、電荷のひとつひとつによって作られるものであるように。


  投稿者:EMAN - 2007/03/16(Fri) 09:05  No.1231 
> 磁場というのは運動する電荷のひとつひとつが作り出すものだ、と思ってよいのでしょうか。

 その考え方ができますよ。
 旧掲示板では、みんなで長く議論したものです。
 とおりすがりさんがさらっと解答して下さいましたけれど。
 今はこのサイトでも記事になってます。

  投稿者:ヒラメ - 2007/03/16(Fri) 11:37  No.1232 
>その考え方ができますよ。

そうですか。ありがとうございます。
調子に乗ってどうでもいいことも聞いてしまうと、
なぜ運動エネルギーはTでポテンシャルエネルギーはVやUなのでしょうか。
運動エネルギーがKで表されているときもあって、これはkineticかなと想像がつくのですが。

これもどこかに書いてあったりするのかな。だとしたら不注意ですみません。

  投稿者:通りすがり - 2007/03/16(Fri) 20:11  No.1233 
>一般的なラクランジアンは、
ここに反応。そうなんですよ。楽なんですよ。
運動方程式に苦労してたころ運動エネルギーと位置エネルギーさえ書ければ
運動方程式が書けるのでひどく感激したころがありました。