EMANの物理学 過去ログ No.585 〜

 ● 数学の問題について

  投稿者:田中 - 2006/09/24(Sun) 23:27  No.585 
先程ふと思った疑問です.
yとtの間に
y = a sin(w*t+b) + c*t + d
(w, a, b, c, d:constant)
という関係式があるとき,

⇒t を y で表す方法はあるのでしょうか?

yをtについて微分しcosについてまとめ,その後上式をcosについてまとめた関数と
cos()^2 + sin()^2 = 1
の関係から表せないかと思ったのですが上手くいきません.逆関数の問題なのかなとも感じているのですが・・・.
私のような高校生では解けないのでしょうか?

P.S.
この質問は2chの掲示板でも行ったのですが完全に無視されてしまいました…. 個人で考えている問題なので特に急いでいるわけではないですし,最終的には自分で解きたいと思っております.ただ,自分の能力が高くないということも良く知っております. 何かヒントがあればご教授下さい.

  投稿者:TOSHI - 2006/09/25(Mon) 02:33  No.586 
こんばんは田中さん、TOSHIと申します。

 y = a sin(w*t+b) + c*t + d は右辺にtがはいっているとtについて初等的には解けませんね。

 微分方程式であれば両辺をtで2階微分するとy"=−a*w^2*sin(w*t+b)=w^2(c*t + d −y)なのでc*t + d =y"/w^2+yよりt=(y"/w^2+y−d)/c ですがこの答えでは不満でしょうか?

 微分方程式でないなら{e^i*(w*t+b)−e^(-i)*(w*t+b)}/2=(y−c*t − d)/aなので右辺にtがないなら虚数iを含む対数関数、つまり逆三角関数で書けますが両辺にtがあるとコンピュータの数値計算で繰り返すしかtをyで表すことはできないのはほぼ自明です。

TOSHI



  投稿者:明男 - 2006/09/25(Mon) 11:39  No.587 
初めまして、田中さん、明男と言います。

TOSHIさんがレスしていらっしゃるのですが、高校生となると解決は難しいところだと思います。私も大学初年のとき同じ問題に悩まされたことがありますので、参考になれば・・・。

話を単純化して、
y=x+sinx
y=x+e^x
などを考えます。yを定数とみなせば、これらはxについての方程式となりますが、一般に「超越方程式」と呼ばれているものの類です。高校生としては以下のように理解してはどうでしょう。
上式で、sinx,e^xは一般にxの関数としては初等的に(有限な多項式で)表現できない。したがって、その逆関数も一般に無限の項を必要とし、初等的に閉じた形には書けない。

逆に言うと無限級数を使えば閉じた形に書ける可能性があります。sinxの例などはベッセル関数という特殊関数の根で与えられます。物性論などではよく出てくるようなので、かなり実用的な話です。そのあたりを調べてみるのも良いかもしれませんね。かなり難しいですけど。
キーワード「超越方程式」「特殊関数」など。
ではまた。

  投稿者:田中 - 2006/09/26(Tue) 00:03  No.591 
TOSHIさん
明男さん

丁寧なアドバイス有難うございます.了解しました.
難しそうですが,何とか食らいついて少しでも理解できるよう頑張ります.
本当に有難うございました.