EMANの物理学 過去ログ No.492 〜

 ● 単振動の問題

  投稿者:KH - 2006/08/30(Wed) 19:19  No.492 
いつもお世話になっております。KHです。皆様、残暑厳しい中いかがお過ごしでしょうか。
さて、力学の問題で面白いものがありました。
問、二つの単振動の和は、単振動であることを示せ。
解答は、それほど難しいものではありません。二つの単振動をx1,x2として、x=x1+x2と計算し、xが単振動の式であることを示せば良いだけなのですが、

ここで、二つの単振動の和であるような運動というのが、実際にあるのかという疑問を感じました。私は直感的にバネが二つつながっているものを引っ張って運動させた場合を想像したのですが、これ以外に何かあるでしょうか。よろしかったお考え願えないでしょうか。では、失礼します。

  投稿者:EMAN - 2006/08/30(Wed) 22:10  No.494 
 単振動の和が再び単振動になるのは、二つの単振動の振動数が等しい時に限るのではないでしょうか。

 で、具体例を考えてみましたが、理想的なのは思いつきませんで・・・、次のようなものはいかがでしょう。

 台に振り子Aが付いている。 ところがこの台は完全に固定されていなくて、振り子の反動でわずかに揺れる。 でもその揺れ方はわずかなので、振り子Aの運動には影響しないとする。
 この台には別の振り子Bもついており、こちらだけを揺らしても台は反動で揺れる。 では両方の振り子を同時に揺らしてみてはどうか。

 合成したいのは振り子 A B の振動ではなくて、それぞれの振り子を別個に揺らした時の台の振動です。 この台の揺れは、振り子の揺れに影響しないくらい微妙であるという条件が大切になってます。

  投稿者:KH - 2006/09/02(Sat) 08:19  No.509 
お返事ありがとうございます。KHです。

>単振動の和が再び単振動になるのは、二つの単振動の振動数が等しい時に限るのではないでしょうか。

問題の解答では任意の二つの単振動の和として求まっていましたが、この解答は二つの単振動が互いに独立に振動しておりお互い影響を与えないときの話ですね。

実際の運動では、二つの単振動が互いに影響を与えてしまうために上記のような状態に限るのではと言うのが、EMANさんのお話のようで、確かに、教科書だけではこういうところまでは想像が出来ませんね。とても参考になりました。ありがとうございます。では、失礼します。

  投稿者:MaT - 2006/09/09(Sat) 10:23  No.530 
こんにちは。しばらく仕事が忙しくて、こちらは休業状態でした。

>ここで、二つの単振動の和であるような運動というのが、実際にあるのかという疑問を感じました。
やはり、振り子の組み合わせで実現しようとすると、難しいでしょう。
いちばん単純には、機械仕掛けで単振動を作る装置(建築では地震再現用の振動台がそうです)を2台用意して、1台をもう1台の上に乗せればよいです。
もう少し複雑なことを考えるなら、EMANさんの話とよく似てますが、十分に周期の長い振り子(EMANさんの話では台になっている)の重りの部分に、2台の振動装置を取り付ければよいです。
お二人の言われるように2つの振り子を取り付けたのでは、お互いに影響しあってしまいますね。
今の工学の世界では、たいていのことは、力ずくで実現してしまいますよ。

  投稿者:MaT - 2006/09/09(Sat) 10:59  No.531 
あ、もっと簡単な例がありました。波の重ね合わせの原理です。

  投稿者:EMAN - 2006/09/10(Sun) 12:48  No.538 
> やはり、振り子の組み合わせで実現しようとすると、難しいでしょう。

 振り子に限らず、他方に影響を与えずに振動を重ね合わせるのは難しいだろうと考えます。

 例えば、モーターでおもりを回転させて振動を得るような装置であっても、上に乗せた装置の側のおもりには下の装置で作られた揺れが加速度として加わるわけですから、モーターには単独で動かした場合とは異なる負荷がかかってしまうわけです。
 そのあたりまで考えて、私は敢えて原始的に、振り子を例として使うことにしました。


> あ、もっと簡単な例がありました。波の重ね合わせの原理です。

 電磁波ならば、日常的に「重ねあわせ」が行われています。 ところが力学的に重ね合わせようとする例となるとなかなか難しい。 水の上の波の重ね合わせで似たようなことを実現しようとしても、一方の波を発生させる装置は、他方から来る波の影響を受けてしまうからです。
 一方の波の発生源が、他方からの影響を受けるまでの短い間だけなら、それぞれの装置の中間地点で重ねあわせを実現できるでしょうけれど。


 先にも言ったように、無条件に、単振動の和が単振動になる、ということは正しくないと考えています。 単純なものを例に取っても、sin at と sin2at を重ね合わせれば、もはや正弦波ではありませんし。

  投稿者:EMAN - 2006/09/11(Mon) 00:04  No.541 
> 今の工学の世界では、たいていのことは、力ずくで実現してしまいますよ。

 そうですよね。 今回の例では、「他方の振動に影響されないで一定の運動を保つ制御装置付きモーター」みたいなものでしょうか。 そういうのも実際あるでしょうね。

 しかしこういうのを使うと、重ね合わせが実現している例というよりは、「重ね合わせが成り立っているかのように振舞うように制御された系」のような感じがして、例としてはふさわしくない気がしたのです。