EMANの物理学 過去ログ No.127 〜

 ● はじめまして!

  投稿者:あーくん - 2006/06/24(Sat) 16:50  No.127 
物理が好きで、この4月に大学に入ってからもおよそ自分の専門学部とは関係のない物理の授業をとりました。けれどその抗議の先生がめちゃくちゃハイスピードでハイレベルな数学を使って授業を進めるのでなかなかついていけません。そんな中この際とをみつけてわらをもすがる思いで投稿しました。

質問です。
中心力場での質点の位置ベクトルが(r.θ)で、
1/r=(γ/m)/(h^2-δ/m)(1+ηcos√1-δθ/mh^2)の関係があるとき、軌道が閉じないことと近日点が一週ごとに2π(1-δθ/mh^2-1)進むことをしめせ

軌道が閉じる閉じないの判定はどうしたらいいのでしょうか?
それに近日点の位置を求める方法もわからず、調べようにもなにから手をつけたらいいものかわからず途方に暮れています。よろしければアドバイスください。

  投稿者:明男 - 2006/06/24(Sat) 19:49  No.128 
はじめまして、明男と申します。

ワラをもすがるという気持ちのためか、すこし気が逸っていますか?
もう少し質問内容をわかりやすくしないと、答えるのが困難です。とりあえず、式中の
γ、h、η、δ、mの定義と、ルートがどこまでかかっているのか、そして、δθはあるのに、なぜθが無いのか?
くらいは必要だと思いますよ。

あと、蛇足ながら、誤字にも気をつけて。

  投稿者:あーくん - 2006/06/24(Sat) 21:45  No.129 
わかりにくくてすみませんでした(>_<:)
指摘にあった5つの文字はすべて定数で、cos中のルートは最後までかかっています。あとδは微少量を表すのではなくただの定数です。急いでいたので誤字にも気がつきませんでした。すみません・・・

  投稿者:明男 - 2006/06/24(Sat) 23:05  No.130 
こんにちは。

非難しているわけではありませんよ。

正直、なかなか難しい問題だと思います。手に負えないかも。
一緒に考えるスタンスでよければ、知恵を出し合いましょう。

まず基本から。
(1)中心力場と明記してあるので、平面内の運動であると言えます。(まあ、実際(r,θ)だしね)。
(2)中心力場の基本的な軌道方程式は、極座標で、
  1/r=(γ/μh^2)(1+ecos(θ))
と書ける。ここで、γ,μ,h,eは定数ですが、μは質量、hは角運動量、eは離心率と呼ばれ、e=√(1+2Eh^2/μ^2)で定義されます。Eは全エネルギー。

さて、問題文と見比べてみると、e⇔ηはいいとして、右辺の係数(長径)が縮小されているように見えます。それよりcos
の中が大きく違いますね。ここの処理が問題です。

考え方の方針としては、
(1)軌道が閉じているか?
 たぶん、出発点から何回転かしたら、もとの状態に復帰しまければなりません。そうしないと閉じない(周期的運動にならない)からです。
問題の式をf(r,θ)=0と表したとき、f(r,θ)=f(r,θ+2nπ)となるnが存在しないことを言えればいいでしょう。
(2)近日点の移動
近日点とはもっとも回転中心に近づくときですから、rを最小にする角度θを求めればいいわけです。それとθ+2πのときを比較して、差がでればOKですね。

と考えてみたものの、cosの中が・・・もっと考えてみますが、問題文に間違いないですか?
では、また。

  投稿者:あーくん - 2006/06/25(Sun) 00:51  No.131 
問題文の通りに書いたので、間違いはないと思います
ただこの問題文を打った教授が間違っていたらもうお手上げなんですが・・・
(1)なんですが、たしかに僕もそのように考えました。f(r,θ+2nπ)のcos内の2nπ√1-δθ/mh^2という項がこの話の中心になってくるんですよね。もっとつきつめていえばn√1-δθ/mh^2を自然数にするnが存在しなければいいということになるじゃないですか。けれどたとえばδθ/mh^2=8/9ならn=3の時自然数になる、つまり三週したら軌道が元通りになってしまうじゃないですか。そこでつまってしまいました。

あと(2)ですが、試しに0≦θ<2πに話を限ればrを最小にするθは0ですよね。そこでr(0)とr(2π)の差をとってみてもどう考えてもcosが消えません。なんなんでしょうか・・?

  投稿者:明男 - 2006/06/25(Sun) 12:38  No.133  <Home>
こんにちは。

どうもお手上げのようです(申し訳ない)。

間違っているかもしれませんが、閉じるかどうかは、おそらく1回転して戻らなければOkだと思います。
問題をCos(√(1-λθ))に絞って考えると、題意より1>=λθの範囲で、λ<<1と考えられ、その間にθは何回転もできます。(まあ、λを負にすれば無限にいけるわけですが)。
このとき、Cosの中は一様減少し、Cosそのものは一様増加しますので、1回転で見ると、
  Cos(√(1-λθ))=Cos(√(1-λ(θ+2π)))
が成り立つかどうかで良いと思います。
√(1-λθ)=√(1-λ(θ+2π))
これはλ≠0なかぎり成り立ちませんので、閉じない、で良いよな気がします。

さて、問題は近日点です。
1/rを最大にするのはCosが最大ですから、0≦θ≦2πでは、θ=2πのときです。しかし1/rは単調増加し近日点の明確な移動はどうなるのか?さっぱり分かりません。
適当にパラメタライズしてシミュレートしてみましたが、今の結論を裏付ける結果しか見えませんでした。

計算例を参照先にアップしておきます。

やはりお手上げでしたが、もし、他の人の解や後日談がありましたら、よろしく御紹介ください。では、また。

  投稿者:あーくん - 2006/06/25(Sun) 23:04  No.137 
いえいえ、申し訳ないだなんてとんでもない!
また明日にでもみんなの意見を聞いてみようと思います。
わかったらお教えしますね。グラフまで書いていただいて、本当にお世話になりました。
ありがとうございますm(_ _)m