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ハミルトン・ヤコビの偏微分方程式2

ハミルトニアンが時間を含まない場合。

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時間を含まない方程式

 前回はハミルトン・ヤコビの偏微分方程式を紹介し、使い方を説明した。  それは次のような式だった。

 ここでハミルトニアン が時間 を含まないという制限を設けると、 この方程式を解くのはかなり易しくなる。  ずっと前に説明したように

という関係があったので、 (いや、ごめんなさい、ホントはまだ説明していません。  後でこれについての記事を追加する予定です。) 今、この式の右辺が 0 だということは、 の変数である は時間に依存して変化したとしても、 全体の値は変化しないで一定の値 になることを意味している。

 この時、(1) の方程式を満たす は次のような形になる。

 後は をどうやって導くか、だ。  (2) 式の の変数として というものがあるが、 そこに (3) 式を代入して計算すると となるから、

と書いても同じだろう。  これは関数 についての (1) 式よりも単純な偏微分方程式になっている。  これを「時間を含まないハミルトン・ヤコビの方程式」と呼ぶ。  単純とは言っても、現実の問題に当てはめようとするとややこしいかも知れない。  ここでは という記号で代表して書いているが、 実際には や、 という多数の変数を 略しているのである。

 これを解くことは数学の技巧上の問題なので、 ここに具体的な説明を挟むのはやめておこう。  いや、幾つか書いてはみたのだが、記事の大半を占める分量になってしまった。  本題でないところで長々とさまようのは面白くない。  まぁ、別の記事として後で発表するかもしれない。

 とにかく関数 は合計 個の任意定数を含む形で導かれる。  求まった解に任意定数を加えたものも解であるので、 定数はそれ以外にもう一つあるわけだが、そいつのことは無視している。  それら 個の任意定数を とでも表すことにしよう。  つまり という形の関数になる。  それらの定数 は完全に自由に決められるわけではなく、 に縛られるので、自由度は である。  逆に見れば、 の関数になっているとも言える。  要するに、

となっており、母関数 という関数の形で求められたということだ。


あとは前回と同じ

 ここまで来たら後は前回と同じことを繰り返すだけなのだが、 その途中で表れる式を使って議論を展開したいので、 くどいかも知れないが全く同じ説明を最後までやっておこう。

 今は正準変換後の が定数となるような変換を探しているのだから、 ここに出てきている定数 こそが のことなのだと解釈してやる。

 正準変換は、 という形の母関数を使用したときには、

という関係が使えるのだった。  だから、この式に、ここでの結果、つまり (4) 式などを代入すれば、

となる。  ここで (8) 式の というのは定数であるべきはずなのに、 右辺を見ると が入っているのでおかしいじゃないかと思うかも知れないが、 は変数の各 を通して時間変化するのであり、 それとうまく打ち消し合っているのであろう。   が定数であることを強調するために、これを で書き直そう。

 この式から は定数であるけれども の関数として 表せるということになる。  この式を について逆に解けば、各 の 関数として表すことができる。   は定数だから、これは に依存する関数だということだ。  この式が欲しくて計算していたのであり、目的は達せられたことになる。

  については (7) 式を使えばいい。   の変数は だから、 の関数として求まるだろう。  その の部分に今求めた結果を代入すれば、こちらも の関数として得られることになる。


関数 S の意味

 ここで出てきた関数 には特別な利用価値がある。  本来、ここまで来たら母関数 を使って正準変換すべきところだが、 気が変わって、ここで求めた を母関数として変換したら、 一体、どんな結果になるだろうかというのを考えてみよう。

 ハミルトニアンの変換には次の式を使うのだった。

 ここで母関数 の代わりに を使うのである。   には が含まれていないのだから、 変換後のハミルトニアン は量的には変換前と等しいということだ。  ただし は変換後の変数を使って表し直す必要がある。

 これ以外に (5)、(6) 式のような関係式がある。  まずは (5) 式から見よう。  この関係式に の代わりに を使うとどうなるかだが、 先ほどやった計算を見ればこれはすぐに分かる。  (5) 式に (4) 式を代入した結果が (7) 式になるのだった。  つまり、 の代わりに を使おうがこれは何ら変わりがないということだ。

 では (6) 式はどうなるかというと、これも先ほどの計算から見えてくる。  (8') 式を移項してみよう。

 少し分かりにくいかも知れない。  どう説明したら分かってもらえるだろう。  ここに出てくる というのは、 変換後の運動量 のことであり、 それは時間変化しない定数であるから と表しているのである。  この式と (6) 式を見比べてやれば、右辺は に置き換えただけである。  違いは左辺に現れる。  左辺には変換後の座標変数 が出るはずなのだが、 母関数として を使った場合には、それは であり、 もはや定数ではないのだ。

 要するに、母関数として を使った変換は、 新しい運動量 を定数 とし、 新しい座標変数 という形にする変換だということだ。  この というのは、 のことだが、 これは定数であるのでこのような記号 を当ててみたのである。

 こんなものがどうして重要なのかはまだ想像が付かないだろう。  エネルギーが一定の場合に限定しての話なので応用範囲が広いとも思えない。  今回はただ関数 の紹介をするのが目的であったのでこれくらいにしておこう。  次回からこれを使った理論を展開して行くつもりである。


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